Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a integral imprópria
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais impropriamente indefinidas, onde o limite superior é infinito. Para resolver, vamos precisar conhecer as técnicas de integração de funções exponenciais e entender o conceito de convergência de integrais.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral
. Para integrar essa função, podemos usar uma substituição simples. Seja
, então a derivada de
em relação a
é
, o que significa que
.
Passo 3
Substituindo na integral, temos:
Voltando para a variável original
, fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral definida de 4 até
:
Isso significa que calcularemos:
Passo 5
Calculando os limites:
- Para
, , então . - Para
, temos .
Então a expressão fica:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.
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Calcule, usando o método que você achar conveniente:
;
Calcule, usando o método que você achar conveniente:
;
Utilizando apenas as propriedades de limite, que
e que
, calcule
.
Considere a hélice circular
. Encontre o valor de
tal que cada volta completa avança 3 unidades em
.