Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
integral4^infty e^-y / 2 d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a integral imprópria . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais impropriamente indefinidas, onde o limite superior é infinito. Para resolver, vamos precisar conhecer as técnicas de integração de funções exponenciais e entender o conceito de convergência de integrais.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral . Para integrar essa função, podemos usar uma substituição simples. Seja , então a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral e^-y / 2 , dy = integral e^u cdot (-2) , du = -2 integral e^u , du = -2 e^u + C
Voltando para a variável original -2 e^-y / 2 + C , fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de 4 até integral4^infty e^-y / 2 , dy = [ -2 e^-y / 2 ]4^infty :
limb to infty ( -2 e^-b / 2 ) - ( -2 e^-4 / 2 )
Isso significa que calcularemos:

Passo 5

Calculando os limites:
  1. Para 0 - (-2 e^-2) = 2 e^-2 , , então .
  2. Para , temos .
Então a expressão fica:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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