Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a integral imprópria . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais impropriamente indefinidas, onde o limite superior é infinito. Para resolver, vamos precisar conhecer as técnicas de integração de funções exponenciais e entender o conceito de convergência de integrais.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral . Para integrar essa função, podemos usar uma substituição simples. Seja , então a derivada de em relação a é , o que significa que .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
Voltando para a variável original , fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de 4 até :
Isso significa que calcularemos:

Passo 5

Calculando os limites:
  1. Para , , então .
  2. Para , temos .
Então a expressão fica:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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