Calcule, usando mudança de coordenadas:
g) integral1^2 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 d z d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração tripla usando mudança de coordenadas! A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente com coordenadas esféricas para facilitar a resolução. Precisamos entender como mudar as coordenadas de para e ajustar os limites de integração conforme essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas esféricas:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
E o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites de integração para e .
  • : Como a função envolve , que é igual a , e os limites originais para vão de 1 a 2, isso implica que também vai de 1 a 2.
  • : Observando que vai de 0 a , vemos que varia de 0 a (primeiro quadrante).
  • : Como vai de 0 a , varia de 0 a (acima do plano xy).

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas:
integral1^2 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx
Substituindo integral1^2 integral0^pi2 integral0^pi2 1rho^2 cdot rho^2 sinphi , dphi , dtheta , drho e integral1^2 integral0^pi2 integral0^pi2 sinphi , dphi , dtheta , drho , a integral fica:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos integrar passo a passo:
  1. Integral em integral0^pi2 sinphi , dphi = [-cosphi]0^pi2 = -(0 - 1) = 1 :
integral0^pi2 1 , dtheta = [ theta ]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2
  1. Integral em integral1^2 pi2 , drho = pi2 cdot (2 - 1) = pi2 cdot 1 = pi2 :
  1. Integral em :

Resposta

A integral vale .

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