Calcule, usando mudança de coordenadas:
g)
.
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integração tripla usando mudança de coordenadas! A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente com coordenadas esféricas para facilitar a resolução. Precisamos entender como mudar as coordenadas de
para
e ajustar os limites de integração conforme essa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas esféricas:
E o elemento de volume
em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, precisamos identificar os limites de integração para
e
.
-
: Como a função envolve , que é igual a , e os limites originais para vão de 1 a 2, isso implica que também vai de 1 a 2. -
: Observando que vai de 0 a , vemos que varia de 0 a (primeiro quadrante). -
: Como vai de 0 a , varia de 0 a (acima do plano xy).
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas:
Substituindo
e
, a integral fica:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos integrar passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Resposta
A integral vale
.