Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
b)
em
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio de Taylor de primeira e segunda ordem para a função
no ponto
.
Matéria envolvida: Polinômios de Taylor para funções de várias variáveis.
O que vamos precisar:
- Calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
- Avaliar essas derivadas no ponto dado.
- Montar o polinômio de Taylor com as informações obtidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Para funções de duas variáveis, o polinômio de Taylor de primeira ordem em torno de um ponto
é dado por:
E o polinômio de segunda ordem inclui também as derivadas de segunda ordem:
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliando no ponto
:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de primeira ordem:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Avaliando no ponto
:
Passo 7
Com as derivadas de segunda ordem, montamos o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Resposta
O polinômio de Taylor de primeira ordem é
e o de segunda ordem é
.
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g) .
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.
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Um sistema de reservatórios de gases cuja manipulação apropriada da dinâmica da contenção e fluxo dos gases, isto é, a manipulação do volume e da densidade dos gases, permite a geração de calor, regido pelas equação
Estude as derivadas direcionais quando a configuração do reservatórioé de uma densidade
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. Estude as derivadas direcionais na configuração inicial:
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, isto é,
, calcule as derivadas parciais
b) Supondo que a temperatura
onde
é determinada pelas equações acima.
Suponha que você está administrando uma fábrica, que produz algum tipo de aparelho que requer aço como matéria-prima. Seus custos são, predominantemente, o trabalho humano, que custa $24 $ $ por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa $160 $ $ por tonelada. Suponha que sua receita
é modelada de maneira ampla pela seguinte equação:
onde
(a) representa as horas de trabalho
(b) srepresenta as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de $20.000 $ $, qual é a receita máxima possível?
(a)
(b) srepresenta as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de $20.000 $ $, qual é a receita máxima possível?