Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
b)
em
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio de Taylor de primeira e segunda ordem para a função
no ponto
.
Matéria envolvida: Polinômios de Taylor para funções de várias variáveis.
O que vamos precisar:
- Calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
- Avaliar essas derivadas no ponto dado.
- Montar o polinômio de Taylor com as informações obtidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Para funções de duas variáveis, o polinômio de Taylor de primeira ordem em torno de um ponto
é dado por:
E o polinômio de segunda ordem inclui também as derivadas de segunda ordem:
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliando no ponto
:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de primeira ordem:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Avaliando no ponto
:
Passo 7
Com as derivadas de segunda ordem, montamos o polinômio de Taylor de segunda ordem:
Resposta
O polinômio de Taylor de primeira ordem é
e o de segunda ordem é
.