Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
b) f(x, y) = x^3 - 12 x + y^3 + 3 y^2 - 9 y em (-2, -1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto .
Matéria envolvida: Polinômios de Taylor para funções de várias variáveis.
O que vamos precisar:
  • Calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
  • Avaliar essas derivadas no ponto dado.
  • Montar o polinômio de Taylor com as informações obtidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Para funções de duas variáveis, o polinômio de Taylor de primeira ordem em torno de um ponto é dado por:
E o polinômio de segunda ordem inclui também as derivadas de segunda ordem:

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliando no ponto :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de primeira ordem:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Avaliando no ponto :

Passo 7

Com as derivadas de segunda ordem, montamos o polinômio de Taylor de segunda ordem:

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é e o de segunda ordem é .

Exercícios relacionados

Calcule, usando mudança de coordenadas:
g) integral1^2 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 d z d x d y.
Calcule, usando mudança de coordenadas:
d) Calcule o volume do sólido intersecção da esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 6 com o parabolóide z <= x^2 + y^2.
Um sistema de reservatórios de gases cuja manipulação apropriada da dinâmica da contenção e fluxo dos gases, isto é, a manipulação do volume e da densidade dos gases, permite a geração de calor, regido pelas equação
T(V-4)+V d^5=T V^2 e^(2-d) T
Estude as derivadas direcionais quando a configuração do reservatórioé de uma densidade d=2 e o volume do gás é de V=4. Estude as derivadas direcionais na configuração inicial:
b) Supondo que a temperatura T possa ser expressa implicitamente como função da densidade d e do volume V, isto é, T=T(d, V), calcule as derivadas parciais
partial Tpartial d(d, V, T)=-partial Fpartial d(d, V, T)partial Fpartial T(d, V, T) e partial Tpartial V(d, V, T)=-partial Fpartial V(d, V, T)partial Fpartial T(d, V, T)
onde F(d, V, T) é determinada pelas equações acima.
Suponha que você está administrando uma fábrica, que produz algum tipo de aparelho que requer aço como matéria-prima. Seus custos são, predominantemente, o trabalho humano, que custa $24 $ $ por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa $160 $ $ por tonelada. Suponha que sua receita 24 $ é modelada de maneira ampla pela seguinte equação:
por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa
onde
(a) \frac{d}{d x}(\cos(x)) = -\sin(x) d/dx cos(x) = -sen(x) representa as horas de trabalho
(b) srepresenta as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de $20.000 $ $, qual é a receita máxima possível?