Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
b) f(x, y) = x^3 - 12 x + y^3 + 3 y^2 - 9 y em (-2, -1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto .
Matéria envolvida: Polinômios de Taylor para funções de várias variáveis.
O que vamos precisar:
  • Calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
  • Avaliar essas derivadas no ponto dado.
  • Montar o polinômio de Taylor com as informações obtidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Para funções de duas variáveis, o polinômio de Taylor de primeira ordem em torno de um ponto é dado por:
E o polinômio de segunda ordem inclui também as derivadas de segunda ordem:

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliando no ponto :

Passo 5

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de primeira ordem:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Avaliando no ponto :

Passo 7

Com as derivadas de segunda ordem, montamos o polinômio de Taylor de segunda ordem:

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é e o de segunda ordem é .

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