Um sistema de reservatórios de gases cuja manipulação apropriada da dinâmica da contenção e fluxo dos gases, isto é, a manipulação do volume e da densidade dos gases, permite a geração de calor, regido pelas equação
T(V-4)+V d^5=T V^2 e^(2-d) T
Estude as derivadas direcionais quando a configuração do reservatórioé de uma densidade d=2 e o volume do gás é de V=4. Estude as derivadas direcionais na configuração inicial:
b) Supondo que a temperatura T possa ser expressa implicitamente como função da densidade d e do volume V, isto é, T=T(d, V), calcule as derivadas parciais
partial Tpartial d(d, V, T)=-partial Fpartial d(d, V, T)partial Fpartial T(d, V, T) e partial Tpartial V(d, V, T)=-partial Fpartial V(d, V, T)partial Fpartial T(d, V, T)
onde F(d, V, T) é determinada pelas equações acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de reservatórios de gases e nos pede para calcular as derivadas parciais da temperatura em relação à densidade e ao volume , assumindo que é uma função implícita de e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais de funções implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que relaciona F(d, V, T) = T(V - 4) + Vd^5 - TV^2 e^(2 - d)T = 0 , e :
Essa equação define de forma implícita em termos de e .

Passo 3

Agora, para encontrar as derivadas parciais partial Tpartial d = -partial Fpartial dpartial Fpartial T e partial Tpartial V = -partial Fpartial Vpartial Fpartial T e , vamos usar a regra da diferenciação implícita. A fórmula geral é:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Derivada parcial de partial Fpartial d = 0 + V cdot 5d^4 - TV^2 e^(2 - d)T cdot (-T) = 5Vd^4 + T^2 V^2 e^(2 - d)T em relação a partial Fpartial V = T cdot 1 + d^5 - T cdot 2V e^(2 - d)T = T + d^5 - 2VT e^(2 - d)T :
partial Fpartial T = (V - 4) - V^2 e^(2 - d)T cdot [1 + T(2 - d)]
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dados no problema: T(4 - 4) + 4 cdot 2^5 = T cdot 4^2 e^(2 - 2)T , 0 + 128 = 16T cdot e^0 e encontrar 128 = 16T cdot 1 Rightarrow T = 12816 = 8 quando e .
Substituindo na equação original:

Passo 6

Com partial Fpartial d = 5 cdot 4 cdot 2^4 + 8^2 cdot 4^2 e^0 = 5 cdot 4 cdot 16 + 64 cdot 16 = 320 + 1024 = 1344 , partial Fpartial V = 8 + 32 - 2 cdot 4 cdot 8 cdot 1 = 40 - 64 = -24 e partial Fpartial T = 4 - 4 - 16 cdot 1 cdot [1 + 8(0)] = 0 - 16 = -16 , vamos calcular cada derivada parcial de .
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as fórmulas para as derivadas parciais de partial Tpartial d = -1344-16 = 84 :
partial Tpartial V = --24-16 = -2416 = -1,5

Resposta

partial Tpartial d = 84 e partial Tpartial V = -1,5

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