Um sistema de reservatórios de gases cuja manipulação apropriada da dinâmica da contenção e fluxo dos gases, isto é, a manipulação do volume e da densidade dos gases, permite a geração de calor, regido pelas equação
Estude as derivadas direcionais quando a configuração do reservatórioé de uma densidade
e o volume do gás é de
. Estude as derivadas direcionais na configuração inicial:
b) Supondo que a temperatura
possa ser expressa implicitamente como função da densidade
e do volume
, isto é,
, calcule as derivadas parciais
onde
é determinada pelas equações acima.
b) Supondo que a temperatura
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema de reservatórios de gases e nos pede para calcular as derivadas parciais da temperatura
em relação à densidade
e ao volume
, assumindo que
é uma função implícita de
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais de funções implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que relaciona
,
e
:
Essa equação define
de forma implícita em termos de
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos usar a regra da diferenciação implícita. A fórmula geral é:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Derivada parcial de
em relação a
:
Derivada parcial de
em relação a
:
Derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores dados no problema:
,
e encontrar
quando
e
.
Substituindo na equação original:
Passo 6
Com
,
e
, vamos calcular cada derivada parcial de
.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as fórmulas para as derivadas parciais de
:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
b) em
;
b)
Calcule, usando mudança de coordenadas:
g) .
g)
Suponha que você está administrando uma fábrica, que produz algum tipo de aparelho que requer aço como matéria-prima. Seus custos são, predominantemente, o trabalho humano, que custa $24 $ $ por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa $160 $ $ por tonelada. Suponha que sua receita
é modelada de maneira ampla pela seguinte equação:
onde
(a) representa as horas de trabalho
(b) srepresenta as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de $20.000 $ $, qual é a receita máxima possível?
(a)
(b) srepresenta as toneladas de aço.
Se seu orçamento é de $20.000 $ $, qual é a receita máxima possível?
Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
a) ;
a)