Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla
onde:
e
a região do círculo
, situada mo primeiro quadrante e e abaixo da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
. A região
é a parte do círculo
que está no primeiro quadrante (onde
e
são positivos) e abaixo da reta
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis, que facilita a integração transformando as coordenadas para um sistema mais conveniente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. No primeiro quadrante, o círculo
se estende de
a
e de
a
. A reta
divide esse quadrante em duas partes. Como queremos a região abaixo da reta, vamos considerar onde
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e o diferencial de área
se transforma em
. A integral dupla fica:
Aqui,
vai de 0 até
porque a reta
no primeiro quadrante corresponde a
.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada de:
Calculo a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
.
Calculo a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
.
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla
onde:
e
a região da elípse
, situada mo primeiro quadrante.