Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região do círculo , situada mo primeiro quadrante e e abaixo da reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde . A região é a parte do círculo que está no primeiro quadrante (onde e são positivos) e abaixo da reta . Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis, que facilita a integração transformando as coordenadas para um sistema mais conveniente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . No primeiro quadrante, o círculo se estende de a e de a . A reta divide esse quadrante em duas partes. Como queremos a região abaixo da reta, vamos considerar onde .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e o diferencial de área se transforma em . A integral dupla fica:
Aqui, vai de 0 até porque a reta no primeiro quadrante corresponde a .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral dupla vale .

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Encontre a derivada de:
Calculo a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .
Calculo a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região da elípse , situada mo primeiro quadrante.