Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=x e D a região do círculo x^2+y^2=R^2, situada mo primeiro quadrante e e abaixo da reta y=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde . A região é a parte do círculo que está no primeiro quadrante (onde e são positivos) e abaixo da reta . Para resolver isso, vamos usar a técnica de mudança de variáveis, que facilita a integração transformando as coordenadas para um sistema mais conveniente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . No primeiro quadrante, o círculo se estende de a e de a . A reta divide esse quadrante em duas partes. Como queremos a região abaixo da reta, vamos considerar onde .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, integral duplaD x , dx , dy = integraltheta=0^theta=pi4 integralr=0^r=R (r cos theta) cdot r , dr , dtheta e , e o diferencial de área se transforma em . A integral dupla fica:
Aqui, vai de 0 até porque a reta no primeiro quadrante corresponde a .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(r cos theta) cdot r = r^2 cos theta
Então a integral fica:
integral0^pi4 integral0^R r^2 cos theta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^R r^2 cos theta , dr = cos theta integral0^R r^2 , dr = cos theta [ r^33 ]0^R = R^33 cos theta primeiro:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^pi4 R^33 cos theta , dtheta = R^33 integral0^pi4 cos theta , dtheta = R^33 [ sin theta ]0^pi4 = R^33 ( sin pi4 - sin 0 ) :
R^33 cdot raiz22 = raiz2 R^36
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral dupla vale .

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