Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região da elípse , situada mo primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é a região da elipse no primeiro quadrante. A gente vai usar mudança de variáveis para facilitar a conta. Para isso, vamos precisar entender como transformar a elipse em uma forma mais simples, tipo um círculo, e calcular o Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipse em um círculo. Isso facilita porque integrar sobre círculos é mais simples. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da elipse fica:
Agora, nossa região no sistema passa a ser o primeiro quadrante de um círculo unitário no sistema .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação, que nos ajuda a ajustar a área durante a mudança de variáveis. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = a, partial xpartial v = 0, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = b
Então, o determinante fica:
J = ab
Passo 4
Vamos reescrever a função que estamos integrando na nova variável. Originalmente, temos f(x, y) = x. Com a mudança de variável x = a u, então:
f(x, y) = a u
Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaD x , dx , dy = integral duplaD' a u cdot |J| , du , dv = integral duplaD' a u cdot ab , du , dv = a^2b integral duplaD' u , du , dv
Onde D' é o primeiro quadrante do círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.
Passo 5
Para integrar sobre o primeiro quadrante do círculo unitário, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir:
u = r cos theta e v = r sin theta
Com r indo de 0 a 1 e theta de 0 a pi2. O Jacobiano dessa transformação é r. Substituindo na integral:
a^2b integral0^pi2 integral0^1 (r cos theta) cdot r , dr , dtheta = a^2b integral0^pi2 cos theta integral0^1 r^2 , dr , dtheta
Calculando as integrais:
integral0^1 r^2 , dr = 13, integral0^pi2 cos theta , dtheta = 1