Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região da elípse , situada mo primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é a região da elipse no primeiro quadrante. A gente vai usar mudança de variáveis para facilitar a conta. Para isso, vamos precisar entender como transformar a elipse em uma forma mais simples, tipo um círculo, e calcular o Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para transformar a elipse em um círculo. Isso facilita porque integrar sobre círculos é mais simples. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da elipse fica:
Agora, nossa região no sistema passa a ser o primeiro quadrante de um círculo unitário no sistema .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação, que nos ajuda a ajustar a área durante a mudança de variáveis. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas:
Então, o determinante fica:
Passo 4
Vamos reescrever a função que estamos integrando na nova variável. Originalmente, temos . Com a mudança de variável , então:
Agora, nossa integral dupla fica:
Onde é o primeiro quadrante do círculo unitário .
Passo 5
Para integrar sobre o primeiro quadrante do círculo unitário, é conveniente usar coordenadas polares. Vamos definir:
Com indo de a e de a . O Jacobiano dessa transformação é . Substituindo na integral: