Calculo a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral dupla , onde . A região está entre as curvas e . Vamos precisar entender bem essas curvas, achar onde elas se cruzam e depois configurar a integral direitinho para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Agora que temos os valores de , vamos achar os respectivos valores de substituindo em uma das equações, por exemplo, em :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Vamos identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração. Observando as funções:
Para verificar qual está acima, podemos testar um valor de entre 0 e 2, por exemplo, :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como estamos integrando em e , podemos escolher integrar de a e de 0 a 2:

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a :
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar isso em relação a de 0 a 2:
Calculando cada integral separadamente:

Resposta

A integral dupla vale .

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