Calculo a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=x e D a região entre as curvas: y=-x^2+x+1 e y=x^2-3 x+1.

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = x. A região D está entre as curvas y = -x^2 + x + 1 e y = x^2 - 3x + 1. Vamos precisar entender bem essas curvas, achar onde elas se cruzam e depois configurar a integral direitinho para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
-x^2 + x + 1 = x^2 - 3x + 1

Passo 3

Resolvendo a equação:
-x^2 + x + 1 = x^2 - 3x + 1 -x^2 - x^2 + x + 3x + 1 - 1 = 0 -2x^2 + 4x = 0 -2x(x - 2) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 2.

Passo 4

Agora que temos os valores de x, vamos achar os respectivos valores de y substituindo em uma das equações, por exemplo, em y = -x^2 + x + 1:
Para x = 0:
y = -(0)^2 + 0 + 1 = 1
Para x = 2:
y = -(2)^2 + 2 + 1 = -4 + 2 + 1 = -1
Então, os pontos de interseção são (0, 1) e (2, -1).

Passo 5

Vamos identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração. Observando as funções:
y1 = -x^2 + x + 1 y2 = x^2 - 3x + 1
Para verificar qual está acima, podemos testar um valor de x entre 0 e 2, por exemplo, x = 1:
y1(1) = -1 + 1 + 1 = 1 y2(1) = 1 - 3 + 1 = -1
Então, y1 está acima de y2 nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como estamos integrando em x e y, podemos escolher integrar y de y2 a y1 e x de 0 a 2:
integral duplaD x , dx , dy = integral0^2 ( integralx^2 - 3x + 1^-x^2 + x + 1 x , dy ) dx

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a y:
integralx^2 - 3x + 1^-x^2 + x + 1 x , dy = x [ y ]x^2 - 3x + 1^-x^2 + x + 1 = x ( (-x^2 + x + 1) - (x^2 - 3x + 1) )
Simplificando dentro dos parênteses:
(-x^2 + x + 1) - (x^2 - 3x + 1) = -x^2 + x + 1 - x^2 + 3x - 1 = -2x^2 + 4x
Então, a integral fica:
x (-2x^2 + 4x) = -2x^3 + 4x^2

Passo 8

Agora, vamos integrar isso em relação a x de 0 a 2:
integral0^2 (-2x^3 + 4x^2) , dx = -2 integral0^2 x^3 , dx + 4 integral0^2 x^2 , dx
Calculando cada integral separadamente:
-2 [ x^44 ]0^2 + 4 [ x^33 ]0^2
-2 ( 164 - 0 ) + 4 ( 83 - 0 ) = -2 times 4 + 4 times 83 = -8 + 323 = -24 + 323 = 83

Resposta

A integral dupla vale 83.

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