Calculo a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a integral dupla
, onde
. A região
está entre as curvas
e
. Vamos precisar entender bem essas curvas, achar onde elas se cruzam e depois configurar a integral direitinho para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
, vamos achar os respectivos valores de
substituindo em uma das equações, por exemplo, em
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Vamos identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração. Observando as funções:
Para verificar qual está acima, podemos testar um valor de
entre 0 e 2, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como estamos integrando em
e
, podemos escolher integrar
de
a
e
de 0 a 2:
Passo 7
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar isso em relação a
de 0 a 2:
Calculando cada integral separadamente:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Calculo a integral dupla
onde:
e
a região entre as curvas:
e
.
Encontre uma representação em séries de potência para as funções e determine o intervalo de convergência.
Encontre a derivada de:
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla
onde:
e
a região do círculo
, situada mo primeiro quadrante e e abaixo da reta
.