Calculo a integral dupla integral duplaD f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=y e D a região entre as curvas: y=1-x, x=0 e y=0.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = y e a região D está delimitada pelas curvas y = 1 - x, x = 0 e y = 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e entender bem a região de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região D onde vamos integrar. As curvas que delimitam D são:
  1. y = 1 - x: uma reta que corta o eixo y em 1 e o eixo x em 1.
  2. x = 0: o eixo y.
  3. y = 0: o eixo x.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor a área que estamos integrando.

Passo 3

Ao desenhar as curvas, vemos que a região D é um triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Isso significa que x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 1 - x.

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla com os limites estabelecidos:
integral duplaD y , dx , dy = integralx=0^1 integraly=0^1 - x y , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^1 - x y , dy = [ y^22 ]0^1 - x = (1 - x)^22

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 (1 - x)^22 , dx = 12 integral0^1 (1 - x)^2 , dx

Passo 7

Expandindo (1 - x)^2, temos:
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Então, a integral se torna:
12 integral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx

Passo 8

Integrando termo a termo:
12 [ integral0^1 1 , dx - 2 integral0^1 x , dx + integral0^1 x^2 , dx ]
Calculando cada integral:
  • integral0^1 1 , dx = x |0^1 = 1
  • 2 integral0^1 x , dx = 2 cdot x^22 |0^1 = 1
  • integral0^1 x^2 , dx = x^33 |0^1 = 13

Passo 9

Substituindo os valores:
12 [ 1 - 1 + 13 ] = 12 cdot 13 = 16

Resposta

O valor da integral dupla é 16.

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