Calculo a integral dupla onde: e a região entre as curvas: e .

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde e a região está delimitada pelas curvas , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e entender bem a região de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. As curvas que delimitam são:
  1. : uma reta que corta o eixo em 1 e o eixo em 1.
  2. : o eixo .
  3. : o eixo .
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor a área que estamos integrando.

Passo 3

Ao desenhar as curvas, vemos que a região é um triângulo no primeiro quadrante com vértices em , e . Isso significa que varia de a e, para cada , varia de a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla com os limites estabelecidos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 7

Expandindo , temos:
Então, a integral se torna:

Passo 8

Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:

Passo 9

Substituindo os valores:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região do círculo , situada mo primeiro quadrante e e abaixo da reta .
Encontre a derivada de:
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla onde: e a região da elípse , situada mo primeiro quadrante.
Encontre a derivada de: