Nos Exercícios de 23 a 26 , prove que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe.
f(x, y)=x^2+2 x yraizx^2+y^2

Passo 1

Vamos descobrir o limite da função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é limite de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise do limite independente do caminho que a gente escolhe para chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, usamos:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo f(r, theta) = (r cos theta)^2 + 2 (r cos theta)(r sin theta)raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e na função , temos:

Passo 4

Simplificando a expressão:
f(r, theta) = r^2 cos^2 theta + 2r^2 cos theta sin thetaraizr^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que f(r, theta) = r^2 (cos^2 theta + 2 cos theta sin theta)r = r (cos^2 theta + 2 cos theta sin theta) , então:

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando limr to 0 f(r, theta) = limr to 0 r (cos^2 theta + 2 cos theta sin theta) tende a 0:
0 times (valor limitado) = 0
Como é uma expressão limitada para qualquer , o limite será:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados