Nos Exercícios de 23 a 26 , prove que
existe.
Passo 1
Vamos descobrir o limite da função
quando
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é limite de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise do limite independente do caminho que a gente escolhe para chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, usamos:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 3
Substituindo
e
na função
, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, analisamos o limite quando
tende a 0:
Como
é uma expressão limitada para qualquer
, o limite será:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
20.
20.
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla
onde:
e
a região da elípse
, situada no segundo quadrante.
Seja
. Determine
(b).
(b).
Calcule a integral indefinida.
32.
32.