Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem: sumn=1^infty 2 n+1n^3+2 (Teste de comparação assintótica)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a série converge usando o Teste de Comparação Assintótica. Basicamente, vamos comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou não. Para isso, vamos precisar entender como os termos da série se comportam quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série original . Quando é muito grande, os termos dominantes no numerador e no denominador são e , respectivamente. Então, de forma simplificada, a fração fica aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série de comparação que seja fácil de analisar. Como vimos que se comporta como para grandes , vamos comparar com a série .

Passo 4

Sabemos que a série é uma série p, onde . E séries p convergem se , o que é o caso aqui. Então, nossa série de comparação converge.

Passo 5

Vamos aplicar o Teste de Comparação Assintótica. Precisamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando limn to infty 2n + 1n^3 + 21n^2 = limn to infty (2n + 1) cdot n^2n^3 + 2 tende ao infinito:
(2n + 1) cdot n^2 = 2n^3 + n^2
Simplificando o numerador:
limn to infty 2n^3 + n^2n^3 + 2 = limn to infty 2 + 1n1 + 2n^3 = 2 + 01 + 0 = 2
Então, temos:

Passo 6

Como o limite é um número finito positivo ( neste caso), o Teste de Comparação Assintótica nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Já que a série converge, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação Assintótica.

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