Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem: (Teste de comparação assintótica)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a série converge usando o Teste de Comparação Assintótica. Basicamente, vamos comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou não. Para isso, vamos precisar entender como os termos da série se comportam quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série original . Quando é muito grande, os termos dominantes no numerador e no denominador são e , respectivamente. Então, de forma simplificada, a fração fica aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série de comparação que seja fácil de analisar. Como vimos que se comporta como para grandes , vamos comparar com a série .

Passo 4

Sabemos que a série é uma série p, onde . E séries p convergem se , o que é o caso aqui. Então, nossa série de comparação converge.

Passo 5

Vamos aplicar o Teste de Comparação Assintótica. Precisamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando tende ao infinito:
Simplificando o numerador:
Então, temos:

Passo 6

Como o limite é um número finito positivo ( neste caso), o Teste de Comparação Assintótica nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Já que a série converge, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação Assintótica.

Exercícios relacionados

Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série converge, então converge.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona é convergente.
Determine o volume da região formada pela intersecção:
  • dos planos e
  • das superfícies e , situada no primeiro octante.
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral tripla onde:
e a região da elípsoide , situada no primeiro octante.