Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem:
(Teste de comparação assintótica)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a série
converge usando o Teste de Comparação Assintótica. Basicamente, vamos comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou não. Para isso, vamos precisar entender como os termos da série se comportam quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série original
. Quando
é muito grande, os termos dominantes no numerador e no denominador são
e
, respectivamente. Então, de forma simplificada, a fração fica aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série de comparação que seja fácil de analisar. Como vimos que
se comporta como
para grandes
, vamos comparar com a série
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. E séries p convergem se
, o que é o caso aqui. Então, nossa série de comparação converge.
Passo 5
Vamos aplicar o Teste de Comparação Assintótica. Precisamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito:
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 6
Como o limite é um número finito positivo (
neste caso), o Teste de Comparação Assintótica nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Já que a série
converge, a nossa série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação Assintótica.
Exercícios relacionados
Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
converge.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona é convergente.
Determine o volume da região
formada pela intersecção:
- dos planos
e - das superfícies
e , situada no primeiro octante.
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral tripla
onde:
e
a região da elípsoide
, situada no primeiro octante.