Calcule o volume do sólido pela rotação em torno do eixo y, de todos os pares ordenados (x, y) tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
0 <= y <= (e^x + e^(-x)) / 2 e -1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região definida por e é girada em torno do eixo . Vamos usar o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que define a região: . Isso é na verdade a função cosseno hiperbólico, . Mas mesmo que você não conheça essa função, vamos trabalhar com a expressão que temos.

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , precisamos expressar em função de . A equação pode ser resolvida para , mas é mais fácil usar o método dos discos, considerando as fatias verticais.

Passo 4

O volume de cada “fatia” do sólido pode ser calculado pela fórmula:
Aqui, é a função que define o raio do disco em cada ponto , que no nosso caso é .

Passo 5

Vamos então substituir os valores na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral antes de integrar.

Passo 6

Expandindo o quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 7

Podemos fatorar a constante:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 8

Integrando:
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 9

Simplificando:

Passo 10

Então, o volume é:
Podemos simplificar um pouco mais, mas essa é a forma exata do volume.

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados