Calcule o volume do sólido pela rotação em torno do eixo y, de todos os pares ordenados
tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região definida por
e
é girada em torno do eixo
. Vamos usar o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que define a região:
. Isso é na verdade a função cosseno hiperbólico,
. Mas mesmo que você não conheça essa função, vamos trabalhar com a expressão que temos.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, precisamos expressar
em função de
. A equação
pode ser resolvida para
, mas é mais fácil usar o método dos discos, considerando as fatias verticais.
Passo 4
O volume de cada “fatia” do sólido pode ser calculado pela fórmula:
Aqui,
é a função que define o raio do disco em cada ponto
, que no nosso caso é
.
Passo 5
Vamos então substituir os valores na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral antes de integrar.
Passo 6
Expandindo o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 7
Podemos fatorar a constante:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 8
Integrando:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 9
Simplificando:
Passo 10
Então, o volume é:
Podemos simplificar um pouco mais, mas essa é a forma exata do volume.
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.