Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , de todos os pares ordenados
tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que resulta ao girar em torno do eixo x todos os pontos
que satisfazem as condições
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da geometria analítica para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar a região em torno do eixo x. Imagine que você tem a curva
. Ao girar essa curva ao redor do eixo x entre
e
, você cria um sólido de revolução. O método dos discos nos ajuda a calcular o volume desse sólido integrando a área dos “discos” formados em cada fatia infinitesimal ao longo do eixo x.
Passo 3
A fórmula do volume usando o método dos discos é:
Aqui,
é a função que define a borda da região que está sendo girada, e
e
são os limites de integração. No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Antes de integrar, precisamos simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 5
Expandindo o quadrado, temos:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em três partes:
Agora, calcular cada integral individualmente.
Passo 7
Calculando cada integral:
Aplicando os limites de
a
:
-
De
a : -
De
a : -
De
a :
Passo 8
Somando tudo:
Passo 9
Simplificando ainda mais:
Podemos deixar a resposta assim ou fatorar conforme preferir.
Resposta
O volume do sólido de revolução é: