Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , de todos os pares ordenados (x, y) tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
0 <= y <= (e^x + e^(-x)) / 2 e -1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que resulta ao girar em torno do eixo x todos os pontos (x, y) que satisfazem as condições 0 <= y <= (e^x + e^(-x)) / 2 e -1 <= x <= 1. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da geometria analítica para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar a região em torno do eixo x. Imagine que você tem a curva . Ao girar essa curva ao redor do eixo x entre e x = 1, você cria um sólido de revolução. O método dos discos nos ajuda a calcular o volume desse sólido integrando a área dos “discos” formados em cada fatia infinitesimal ao longo do eixo x.

Passo 3

A fórmula do volume usando o método dos discos é:
Aqui, f(x) é a função que define a borda da região que está sendo girada, e a e b são os limites de integração. No nosso caso, , e .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
Antes de integrar, precisamos simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 5

Expandindo o quadrado, temos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar a integral em três partes:
Agora, calcular cada integral individualmente.

Passo 7

Calculando cada integral:
Aplicando os limites de -1 a 1:
  1. De -1 a 1:
  2. De -1 a 1:
  3. De -1 a 1:

Passo 8

Somando tudo:

Passo 9

Simplificando ainda mais:
Podemos deixar a resposta assim ou fatorar conforme preferir.

Resposta

O volume do sólido de revolução é:

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