Calcule, usando produto misto, o volume do cubo determinado pelos vetores u=(1,1,1), v=(0,1,1)
e w=(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o volume de um cubo usando o produto misto. Os vetores que definem esse cubo são u=(1,1,1), v=(0,1,1) e w=(0,0,1). O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do volume usando o produto escalar e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores u, v e w é dado por:
u cdot (v times w)
Esse cálculo nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. No caso de um cubo, esse volume será exatamente o que a gente quer encontrar.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial de v e w primeiro. O produto vetorial v times w é definido pela matriz determinante:
v times w = i & j & k 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
Resolvendo o determinante:
v times w = i(1 cdot 1 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 1 - 1 cdot 0) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 0) = i(1) - j(0) + k(0) = (1, 0, 0)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar de u com o resultado que encontramos no passo anterior:
u cdot (v times w) = (1, 1, 1) cdot (1, 0, 0) = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 = 1

Passo 5

O valor que obtivemos representa o volume do paralelepípedo. Como estamos falando de volume, consideramos o valor absoluto, mas como o resultado já é positivo, fica:
Volume = 1

Resposta

O volume do cubo é 1 unidade cúbica.

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