Calcule, usando produto misto, o volume do cubo determinado pelos vetores
e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o volume de um cubo usando o produto misto. Os vetores que definem esse cubo são , e . O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do volume usando o produto escalar e o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores , e é dado por:
Esse cálculo nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. No caso de um cubo, esse volume será exatamente o que a gente quer encontrar.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial de e primeiro. O produto vetorial é definido pela matriz determinante:
Agora, vamos calcular o produto escalar de u com o resultado que encontramos no passo anterior:
u cdot (v times w) = (1, 1, 1) cdot (1, 0, 0) = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 = 1
Passo 5
O valor que obtivemos representa o volume do paralelepípedo. Como estamos falando de volume, consideramos o valor absoluto, mas como o resultado já é positivo, fica: