Mostre que o conjunto W=(x, y) in R^2: a x+b y=0 é um subspaço vetorial do R^2. Observe que W é uma reta que passa pela origem (passar pela origem significa 0 in W). Na verdade, os subespaços do R^2 são precisamente W=0, W=R^2 e as retas que passam pela origem. Descreva todos os subespaços do R^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar se satisfaz os três critérios de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em a cdot 0 + b cdot 0 = 0 . O vetor zero em 0 = 0 é . Substituindo na equação de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a x1 + b y1 = 0 é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores a x2 + b y2 = 0 e a (x1 + x2) + b (y1 + y2) = 0 + 0 = 0 em , então a soma também deve estar em .
Como e estão em , temos:
Somando as duas equações:
Portanto, também está em .

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se a x + b y = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor c (a x + b y) = c cdot 0 = 0 em a (c x) + b (c y) = 0 e um escalar , então o vetor também deve estar em .
Como está em , temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço vetorial de . Além disso, os subespaços de são: o conjunto , todas as linhas que passam pela origem, todos os planos que passam pela origem, e o próprio espaço .

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