Mostre que o conjunto é um subspaço vetorial do . Observe que é uma reta que passa pela origem (passar pela origem significa . Na verdade, os subespaços do são precisamente e as retas que passam pela origem. Descreva todos os subespaços do .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar se satisfaz os três critérios de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na equação de :
Então, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores e em , então a soma também deve estar em .
Como e estão em , temos:
Somando as duas equações:
Portanto, também está em .
Passo 4
Finalmente, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor em e um escalar , então o vetor também deve estar em .
Como está em , temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto, também está em .
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço vetorial de . Além disso, os subespaços de são: o conjunto , todas as linhas que passam pela origem, todos os planos que passam pela origem, e o próprio espaço .