Os vetores U=(1,1,2), V=(1,2,3) e W=(-1,7,5) são coplanares? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se os vetores , e são coplanares. Para resolver isso, vamos usar um conceito de geometria vetorial chamado produto misto e determinante. Esses conceitos vão nos ajudar a verificar se os vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, o que significa ser coplanar? Três vetores são coplanares se eles estiverem todos no mesmo plano. Para testar isso, usamos o produto misto dos vetores. Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares. O produto misto pode ser calculado usando o determinante de uma matriz formada pelos vetores.

Passo 3

Vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
1 & 1 & -1 1 & 2 & 7 2 & 3 & 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. A fórmula do determinante para uma matriz det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é:
det = 1 cdot (2 cdot 5 - 7 cdot 3) - 1 cdot (1 cdot 5 - 7 cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 2)
Aplicando aos nossos valores:
det = 1 cdot (10 - 21) - 1 cdot (5 - 14) - 1 cdot (3 - 4) = 1 cdot (-11) - 1 cdot (-9) - 1 cdot (-1) = -11 + 9 + 1 = -1
Calculando passo a passo:

Passo 4

O determinante calculado foi , que não é igual a zero. Isso significa que os vetores não são coplanares, pois o produto misto não foi zero.

Resposta

Os vetores , e não são coplanares.

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