Encontre as equações simétricas da reta de interseção dos planos
e
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as equações simétricas da reta que resulta da interseção dos dois planos dados:
Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, onde trabalhamos com planos e retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um ponto que está na reta de interseção e um vetor diretor dessa reta. Com esses dois elementos, conseguimos escrever as equações simétricas da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos para encontrar um ponto que pertence à reta de interseção. Vamos escolher um valor para uma das variáveis, facilitando a resolução. Vamos assumir que
, onde
é um parâmetro qualquer.
Passo 3
Substituindo
na equação do primeiro plano:
E na equação do segundo plano:
Passo 4
Agora, temos duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, vamos substituir na Equação 2 para encontrar
:
Passo 6
Agora, temos as expressões paramétricas da reta de interseção:
Para escrever as equações simétricas, eliminamos o parâmetro
:
Resposta
As equações simétricas da reta de interseção dos planos são:
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Calcule, usando produto misto, o volume do cubo determinado pelos vetores
e .
e
Os vetores
e
são coplanares? Justifique a sua resposta.
Determine: As equações reduzidas na variável
da reta
que passa por
e tem direção
.
Quando três vetores são linearmente independentes? Dê um exemplo gráfico (desenhe!) de três vetores linearmente independentes em
.