Encontre as equações simétricas da reta de interseção dos planos pi1: 5 x-y+z-5=0 e pi2 : x+y+2 z-7=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as equações simétricas da reta que resulta da interseção dos dois planos dados:
pi1: 5x - y + z - 5 = 0
pi2: x + y + 2z - 7 = 0
Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, onde trabalhamos com planos e retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar encontrar um ponto que está na reta de interseção e um vetor diretor dessa reta. Com esses dois elementos, conseguimos escrever as equações simétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos para encontrar um ponto que pertence à reta de interseção. Vamos escolher um valor para uma das variáveis, facilitando a resolução. Vamos assumir que , onde é um parâmetro qualquer.

Passo 3

Substituindo 5x - y + t - 5 = 0 Rightarrow 5x - y = 5 - t (Equação 1) na equação do primeiro plano:
x + y + 2t - 7 = 0 Rightarrow x + y = 7 - 2t (Equação 2) çã
E na equação do segundo plano:
çã

Passo 4

Agora, temos duas equações com duas incógnitas ( 5x - y = 5 - t (Equação 1) e x + y = 7 - 2t (Equação 2) ):
5x - y + x + y = (5 - t) + (7 - 2t) çã
6x = 12 - 3t Rightarrow x = 2 - 0.5t çã
Vamos somar as duas equações para eliminar :

Passo 5

Com o valor de (2 - 0.5t) + y = 7 - 2t encontrado, vamos substituir na Equação 2 para encontrar y = 7 - 2t - 2 + 0.5t :
y = 5 - 1.5t

Passo 6

Agora, temos as expressões paramétricas da reta de interseção:
x = 2 - 0.5t
y = 5 - 1.5t
z = t
Para escrever as equações simétricas, eliminamos o parâmetro x - 2-0.5 = y - 5-1.5 = z1 :

Resposta

As equações simétricas da reta de interseção dos planos são:
x - 2-0.5 = y - 5-1.5 = z1

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