Determine: As equações reduzidas na variável da reta que passa por e tem direção .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor . O objetivo é encontrar as equações reduzidas dessa reta na variável . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde é um ponto da reta, é o vetor direção, e é o parâmetro.
Passo 3
No nosso caso, o ponto x = 2 + 5t y = 3 - t z = 4 + t fornece , , e . O vetor direção nos dá , , e . Vamos substituir esses valores na estrutura das equações paramétricas:
Passo 4
Agora, queremos expressar as equações reduzidas em função de z = 4 + t implies t = z - 4 . Para isso, vamos resolver a equação de x = 2 + 5(z - 4) y = 3 - (z - 4) para :
Com isso, substituímos nas equações de e :
Passo 5
Vamos simplificar as equações para ficar mais claro:
x = 2 + 5z - 20 = 5z - 18 y = 3 - z + 4 = 7 - z
Assim, agora temos e expressos em função de .
Resposta
As equações reduzidas da reta x = 5z - 18 y = 7 - z na variável são: