Determine: As equações reduzidas na variável z da reta r que passa por A(2,3,4) e tem direção v=(5,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor . O objetivo é encontrar as equações reduzidas dessa reta na variável . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
onde é um ponto da reta, é o vetor direção, e é o parâmetro.

Passo 3

No nosso caso, o ponto x = 2 + 5t y = 3 - t z = 4 + t fornece , , e . O vetor direção nos dá , , e . Vamos substituir esses valores na estrutura das equações paramétricas:

Passo 4

Agora, queremos expressar as equações reduzidas em função de z = 4 + t implies t = z - 4 . Para isso, vamos resolver a equação de x = 2 + 5(z - 4) y = 3 - (z - 4) para :
Com isso, substituímos nas equações de e :

Passo 5

Vamos simplificar as equações para ficar mais claro:
x = 2 + 5z - 20 = 5z - 18 y = 3 - z + 4 = 7 - z
Assim, agora temos e expressos em função de .

Resposta

As equações reduzidas da reta x = 5z - 18 y = 7 - z na variável são:

Exercícios relacionados

Encontre as equações simétricas da reta de interseção dos planos pi1: 5 x-y+z-5=0 e pi2 : x+y+2 z-7=0.
Calcule, usando produto misto, o volume do cubo determinado pelos vetores u=(1,1,1), v=(0,1,1)
e w=(0,0,1).
Quando três vetores são linearmente independentes? Dê um exemplo gráfico (desenhe!) de três vetores linearmente independentes em R^3.
Dados os vetores U1=2 V1-V2+5 V3, U2=-V1-V2, U3=-2 V1+3 V3 e U4=6 V1-2 V2+10 V3, calcule: 14 U1.