Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(b) integral-pi2^0 cos (x^4) d x, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de no intervalo de a usando séries de potências. A matéria envolvida aqui é a expansão em séries de potências da função cosseno e a integração termo a termo dessa série. Vamos precisar lembrar como expandir o cosseno em uma série de potências e como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de potências do cosseno. A função cos(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)! pode ser escrita como uma série infinita:
cos(x^4) = sumn=0^infty (-1)^n (x^4)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^8n(2n)!
Nesse caso, substituímos por , já que queremos . Então:

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série de potências no intervalo de integral-pi2^0 cos(x^4) , dx = integral-pi2^0 sumn=0^infty (-1)^n x^8n(2n)! , dx a = sumn=0^infty (-1)^n(2n)! integral-pi2^0 x^8n , dx :
Podemos trocar a ordem da integral e da soma (isso é permitido se a série converge uniformemente):

Passo 4

Vamos calcular a integral de cada termo integral-pi2^0 x^8n , dx = integral0^pi2 x^8n , dx . Note que integral-pi2^0 cos(x^4) , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n)! integral0^pi2 x^8n , dx é uma função par (pois a potência é par), então:
integral0^pi2 x^8n , dx = (pi2)^8n + 18n + 1
Portanto:
integral-pi2^0 cos(x^4) , dx = sumn=0^infty (-1)^n (pi2)^8n + 1(2n)! (8n + 1)
E a integral de é:
Então:

Passo 5

Para aproximar essa série até duas casas decimais, vamos calcular os primeiros termos até que a contribuição dos próximos termos seja menor que 0,005. Vamos calcular os termos para (-1)^0 (pi2)^10! cdot 1 = pi21 approx 1,5708 :
Para (-1)^1 (pi2)^92! cdot 9 approx -1 cdot (1,5708)^92 cdot 9 approx -0,0041 :
(-1)^2 (pi2)^174! cdot 17 approx 1 cdot (1,5708)^1724 cdot 17 approx 0,0000
Para :
Para :
Os termos a partir de são muito pequenos e não afetam a segunda casa decimal.

Resposta

Aproximando os primeiros dois termos, temos:
integral-pi2^0 cos(x^4) , dx approx 1,57 - 0,00 = 1,57
Portanto, o valor aproximado da integral é 1,57.

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f(x)=-3x^2/(1+x^3)^2
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(b) sumn=1^infty n!n^n x^n;
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sumn=1^infty n^ne^n^2.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty 4^5 n x^n;