Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(b)
, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
(b)
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de
no intervalo de
a
usando séries de potências. A matéria envolvida aqui é a expansão em séries de potências da função cosseno e a integração termo a termo dessa série. Vamos precisar lembrar como expandir o cosseno em uma série de potências e como integrar cada termo dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de potências do cosseno. A função
pode ser escrita como uma série infinita:
Nesse caso, substituímos
por
, já que queremos
. Então:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série de potências no intervalo de
a
:
Podemos trocar a ordem da integral e da soma (isso é permitido se a série converge uniformemente):
Passo 4
Vamos calcular a integral de cada termo
. Note que
é uma função par (pois a potência é par), então:
Portanto:
E a integral de
é:
Então:
Passo 5
Para aproximar essa série até duas casas decimais, vamos calcular os primeiros termos até que a contribuição dos próximos termos seja menor que 0,005. Vamos calcular os termos para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Os termos a partir de
são muito pequenos e não afetam a segunda casa decimal.
Resposta
Aproximando os primeiros dois termos, temos:
Portanto, o valor aproximado da integral é 1,57.
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(b) ;
(b)
Estude a convergência das séries:
.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
;