Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(b) ;
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências e, se possível, encontrar o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não, calculando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série . Vamos chamar o termo geral da série de .
Calculamos o limite:
Substituindo e :
Passo 4
Simplificando a expressão:
Cancelando termos comuns:
L = limn to infty | (n+1) cdot n!(n+1)^n+1 x cdot x^n cdot n^nn! cdot x^n |
Passo 5
Podemos reescrever L = limn to infty | n^n(n+1)^n cdot 1n+1 cdot x | = limn to infty | (nn+1)^n cdot 1n+1 cdot x | como L = limn to infty | e^-1 cdot 0 cdot x | = 0 , então:
Sabemos que tende a quando tende ao infinito. Além disso, tende a 0. Portanto:
Passo 6
Como o limite é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Portanto, o intervalo de convergência é .
Resposta
A série converge para todo número real . Ou seja, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.