Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(b) sumn=1^infty n!n^n x^n;

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências e, se possível, encontrar o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não, calculando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série L = limn to infty | an+1an | . Vamos chamar o termo geral da série de L = limn to infty | (n+1)!(n+1)^n+1 x^n+1n!n^n x^n | .
Calculamos o limite:
Substituindo e :

Passo 4

Simplificando a expressão:
Cancelando termos comuns:
L = limn to infty | (n+1) cdot n!(n+1)^n+1 x cdot x^n cdot n^nn! cdot x^n |

Passo 5

Podemos reescrever L = limn to infty | n^n(n+1)^n cdot 1n+1 cdot x | = limn to infty | (nn+1)^n cdot 1n+1 cdot x | como L = limn to infty | e^-1 cdot 0 cdot x | = 0 , então:
Sabemos que tende a quando tende ao infinito. Além disso, tende a 0. Portanto:

Passo 6

Como o limite é sempre menor que 1, isso significa que a série converge para todo valor de . Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A série converge para todo número real . Ou seja, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.

Exercícios relacionados

Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(a) integral cos (x^4) d x;
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(d) sumn=1^infty (n+1)!2^n(x+3)^n.
Encontre a série de potências que representa a função
f(x)=-3x^2/(1+x^3)^2
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(b) integral-pi2^0 cos (x^4) d x, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.