Encontre a série de potências que representa a função
f(x)=-3x^2/(1+x^3)^2
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede para encontrar a série de potências que representa a função . Além disso, temos que descobrir o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivadas de séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é uma soma infinita de termos que envolve potências de . A gente sabe que a série geométrica básica é para .

Passo 3

No nosso caso, temos . Isso pode ser reescrito como , o que se encaixa na fórmula da série geométrica. Assim, podemos expandir:
Essa série converge quando , ou seja, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Sabemos que a derivada de em relação a é . Aplicando isso, temos:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, voltamos à nossa função . Substituindo a série que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A série de potências que representa a função é:
O raio de convergência dessa série é , já que a série geométrica associada converge para .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(b) sumn=1^infty n!n^n x^n;
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(a) integral cos (x^4) d x;
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(b) integral-pi2^0 cos (x^4) d x, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Estude a convergência das séries:
sumn=1^infty n^ne^n^2.