Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais: integral0^0,5 11+x^7 d x, com cinco casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral integral0^0,5 11+x^7 dx usando séries de potências. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais usando expansões em séries e, para isso, vamos precisar conhecer a série geométrica e como utilizá-la para representar funções que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos integrar, 11+x^7, de uma forma que possamos expandir em uma série. Sabemos que a série geométrica é dada por:
11-y = sumn=0^infty y^n para |y| < 1
Aqui, podemos identificar y como -x^7, então nossa função fica:
11+x^7 = 11-(-x^7) = sumn=0^infty (-x^7)^n = sumn=0^infty (-1)^nx^7n
Isso é válido para |x^7| < 1, ou seja, para |x| < 1. Como nosso intervalo de integração é de 0 a 0,5, que está dentro desse raio de convergência, podemos usar essa série.

Passo 3

Agora, vamos substituir a série na integral:
integral0^0,5 11+x^7 dx = integral0^0,5 sumn=0^infty (-1)^nx^7n dx
Podemos trocar a soma com a integral (desde que a série converja de forma uniforme), então:
sumn=0^infty (-1)^n integral0^0,5 x^7n dx

Passo 4

Vamos calcular a integral de cada termo da série:
integral x^7n dx = x^7n+17n+1
Avaliado de 0 a 0,5:
(0,5)^7n+17n+1 - 0^7n+17n+1 = (0,5)^7n+17n+1
Então, nossa soma fica:
sumn=0^infty (-1)^n (0,5)^7n+17n+1

Passo 5

Vamos somar os termos dessa série até que a contribuição dos próximos termos seja menor que 0,000005 (para garantir cinco casas decimais de precisão). Calculando cada termo:
  • Para n=0:
(-1)^0 (0,5)^11 = 0,5
  • Para n=1:
(-1)^1 (0,5)^88 = -0,003906258 = -0,00048828125
  • Para n=2:
(-1)^2 (0,5)^1515 = 0,00003051757812515 approx 0,000002034
  • Para n=3:
(-1)^3 (0,5)^2222 = -0,000000238418579101562522 approx -0,000000010836
Vemos que a partir de n=2, os termos são menos que 0,000005, então podemos parar aqui.

Passo 6

Somando os termos até n=2:
0,5 - 0,00048828125 + 0,000002034 approx 0,499513752
Arredondando para cinco casas decimais:
0,49951

Resposta

integral0^0,5 11+x^7 dx approx 0,49951

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