Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais: , com cinco casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando séries de potências. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais usando expansões em séries e, para isso, vamos precisar conhecer a série geométrica e como utilizá-la para representar funções que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos integrar, , de uma forma que possamos expandir em uma série. Sabemos que a série geométrica é dada por:
Aqui, podemos identificar como , então nossa função fica:
Isso é válido para , ou seja, para . Como nosso intervalo de integração é de 0 a 0,5, que está dentro desse raio de convergência, podemos usar essa série.

Passo 3

Agora, vamos substituir a série na integral:
Podemos trocar a soma com a integral (desde que a série converja de forma uniforme), então:

Passo 4

Vamos calcular a integral de cada termo da série:
Avaliado de 0 a 0,5:
Então, nossa soma fica:

Passo 5

Vamos somar os termos dessa série até que a contribuição dos próximos termos seja menor que (para garantir cinco casas decimais de precisão). Calculando cada termo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que a partir de , os termos são menos que , então podemos parar aqui.

Passo 6

Somando os termos até :
Arredondando para cinco casas decimais:

Resposta

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