Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
, com cinco casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
usando séries de potências. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais usando expansões em séries e, para isso, vamos precisar conhecer a série geométrica e como utilizá-la para representar funções que podemos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função que queremos integrar,
, de uma forma que possamos expandir em uma série. Sabemos que a série geométrica é dada por:
Aqui, podemos identificar
como
, então nossa função fica:
Isso é válido para
, ou seja, para
. Como nosso intervalo de integração é de 0 a 0,5, que está dentro desse raio de convergência, podemos usar essa série.
Passo 3
Agora, vamos substituir a série na integral:
Podemos trocar a soma com a integral (desde que a série converja de forma uniforme), então:
Passo 4
Vamos calcular a integral de cada termo da série:
Avaliado de 0 a 0,5:
Então, nossa soma fica:
Passo 5
Vamos somar os termos dessa série até que a contribuição dos próximos termos seja menor que
(para garantir cinco casas decimais de precisão). Calculando cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Vemos que a partir de
, os termos são menos que
, então podemos parar aqui.
Passo 6
Somando os termos até
:
Arredondando para cinco casas decimais:
Resposta
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;
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