Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(a) integral cos (x^4) d x;
Nos dois itens, justifique as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. A matéria que vamos usar aqui é a expansão em série de potências da função cosseno e a integração termo a termo dessa série. Para isso, precisamos conhecer a série de Taylor do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor do cosseno. A função cos(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)! pode ser expandida em série de potências da seguinte forma:
cos(x^4) = sumn=0^infty (-1)^n (x^4)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^8n(2n)!
Aqui, estamos substituindo por , então temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar a série termo a termo. A integral de uma série infinita pode ser feita integrando cada termo individualmente, desde que a série converja uniformemente no intervalo considerado.
integral cos(x^4) dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^8n(2n)! dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n)! integral x^8n dx

Passo 4

Vamos calcular a integral de cada termo integral x^8n dx = x^8n + 18n + 1 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo de volta na série, temos:
integral cos(x^4) dx = sumn=0^infty (-1)^n x^8n + 1(8n + 1)(2n)! + C

Resposta

Portanto, a integral de integral cos(x^4) dx = sumn=0^infty (-1)^n x^8n + 1(8n + 1)(2n)! + C em termos de série de potências é:

Exercícios relacionados

Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(d) sumn=1^infty (n+1)!2^n(x+3)^n.
Estude a convergência das séries:
e) sumn=1^infty n^ne^n^2.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(b) sumn=1^infty n!n^n x^n;
Encontre a série de potências que representa a função
f(x)=-3x^2/(1+x^3)^2
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.