Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(a)
;
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
(a)
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando séries de potências. A matéria que vamos usar aqui é a expansão em série de potências da função cosseno e a integração termo a termo dessa série. Para isso, precisamos conhecer a série de Taylor do cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Taylor do cosseno. A função
pode ser expandida em série de potências da seguinte forma:
Aqui, estamos substituindo
por
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar a série termo a termo. A integral de uma série infinita pode ser feita integrando cada termo individualmente, desde que a série converja uniformemente no intervalo considerado.
Passo 4
Vamos calcular a integral de cada termo
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituindo de volta na série, temos:
Resposta
Portanto, a integral de
em termos de série de potências é:
Exercícios relacionados
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(d) .
(d)
Estude a convergência das séries:
e) .
e)
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(b) ;
(b)
Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.