Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(d) .
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências e, se der, também o raio de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil para saber quando uma série infinita converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para a série , se o limite , então:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste não dá informação.
No nosso caso, o termo geral da série é an = (n+1)!2^n(x+3)^n. Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+2)!2^n+1(x+3)^n+1 div (n+1)!2^n(x+3)^n = (n+2)(x+3)2
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (n+2)(x+3)2 | = limn to infty (n+2)|x+3|2 = infty (exceto se x+3 = 0)
Passo 3
O limite L é infinito para qualquer valor de x diferente de -3. Isso significa que, de acordo com o Teste da Razão:
Se x neq -3, L = infty > 1, então a série diverge.
Se x = -3, a série se torna sumn=1^infty (n+1)!2^n cdot 0^n = sumn=1^infty 0 = 0, que converge.
Resposta
O intervalo de convergência é apenas o ponto x = -3. Portanto, o intervalo é , -3 , e o raio de convergência é 0.