Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(d) sumn=1^infty (n+1)!2^n(x+3)^n.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (n+1)!2^n(x+3)^n e, se der, também o raio de convergência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é super útil para saber quando uma série infinita converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para a série sum an, se o limite limn to infty | an+1an | = L, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não dá informação.
No nosso caso, o termo geral da série é an = (n+1)!2^n(x+3)^n. Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+2)!2^n+1(x+3)^n+1 div (n+1)!2^n(x+3)^n = (n+2)(x+3)2
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (n+2)(x+3)2 | = limn to infty (n+2)|x+3|2 = infty (exceto se x+3 = 0)

Passo 3

O limite L é infinito para qualquer valor de x diferente de -3. Isso significa que, de acordo com o Teste da Razão:
  • Se x neq -3, L = infty > 1, então a série diverge.
  • Se x = -3, a série se torna sumn=1^infty (n+1)!2^n cdot 0^n = sumn=1^infty 0 = 0, que converge.

Resposta

O intervalo de convergência é apenas o ponto x = -3. Portanto, o intervalo é , -3 , e o raio de convergência é 0.

Exercícios relacionados

Estude a convergência das séries:
e) sumn=1^infty n^ne^n^2.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(a) sumn=1^infty 4^5 n x^n;
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(a) integral cos (x^4) d x;
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(b) sumn=1^infty n!n^n x^n;