Estude a convergência das séries:
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa estudar se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar um conceito de séries infinitas que ajuda a determinar a convergência analisando o comportamento dos termos quando
cresce. Vamos precisar usar o Teste da Raiz, que é bastante útil nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série
, calculamos o limite
. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz na nossa série. Temos
. Vamos calcular o limite:
Passo 4
Vamos analisar esse limite:
. Sabemos que
cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial como
. Portanto, conforme
aumenta,
tende a zero.
Passo 5
Como o limite é:
E 0 é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série
converge.
Resposta
A série converge.
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(a) ;
(a)
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
© ;
©
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(d) .
(d)
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(a) ;
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
(a)
Nos dois itens, justifique as suas respostas.