Estude a convergência das séries:
e) sumn=1^infty n^ne^n^2.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa estudar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar um conceito de séries infinitas que ajuda a determinar a convergência analisando o comportamento dos termos quando cresce. Vamos precisar usar o Teste da Raiz, que é bastante útil nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Raiz. Esse teste diz que, para uma série , calculamos o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz na nossa série. Temos limn to infty raiz[n]n^ne^n^2 = limn to infty ne^n . Vamos calcular o limite:

Passo 4

Vamos analisar esse limite: . Sabemos que cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial como . Portanto, conforme aumenta, tende a zero.

Passo 5

Como o limite é:
limn to infty ne^n = 0
E 0 é menor que 1, pelo Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(a) sumn=1^infty 4^5 n x^n;
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© sumn=1^infty (-1)^nn^2(x-3)^n;
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Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(a) integral cos (x^4) d x;
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