Calcule, usando somas superiores, a área da região situada entre o gráfico de
e o eixo
, entre as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre o gráfico da função
e o eixo
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar as somas superiores, que fazem parte do estudo de integrais na matéria de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são somas superiores. Imagine que a área que queremos calcular está dividida em várias fatias retangulares. A soma das áreas dessas retângulas aproxima a área total. Nas somas superiores, a altura de cada retângulo é o maior valor que a função atinge em cada subintervalo. Isso garante que estamos “sobreestimando” a área, mas isso é útil para ter uma aproximação maior.
Passo 3
Agora, vamos dividir o intervalo de
a
em
subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo, chamado de
, é dado por:
Então, cada subintervalo tem largura
.
Passo 4
Para cada subintervalo, precisamos encontrar o valor máximo da função
. Como
é uma função crescente, o valor máximo em cada subintervalo será o valor da função no extremo direito do subintervalo. Se o i-ésimo subintervalo vai de
a
, então o máximo é
.
Passo 5
A soma superior é, então, a soma das áreas de todos esses retângulos. Matemáticamente, fica assim:
Substituindo
por
:
Passo 6
Para simplificar, podemos expressar
como:
Então, substituindo na soma:
Passo 7
Para encontrar a área exata, precisamos fazer o limite dessa soma quando
tende ao infinito. Isso nos leva à integral definida da função
de
a
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região é
unidades de área.
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, para
, onde
é arbitrário.
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, onde
.
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, com
.
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