Calcule, usando somas superiores, a área da região situada entre o gráfico de e o eixo , entre as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre o gráfico da função e o eixo , no intervalo de até . Para isso, vamos usar as somas superiores, que fazem parte do estudo de integrais na matéria de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são somas superiores. Imagine que a área que queremos calcular está dividida em várias fatias retangulares. A soma das áreas dessas retângulas aproxima a área total. Nas somas superiores, a altura de cada retângulo é o maior valor que a função atinge em cada subintervalo. Isso garante que estamos “sobreestimando” a área, mas isso é útil para ter uma aproximação maior.

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo de a em subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo, chamado de , é dado por:
Então, cada subintervalo tem largura .

Passo 4

Para cada subintervalo, precisamos encontrar o valor máximo da função . Como é uma função crescente, o valor máximo em cada subintervalo será o valor da função no extremo direito do subintervalo. Se o i-ésimo subintervalo vai de a , então o máximo é .

Passo 5

A soma superior é, então, a soma das áreas de todos esses retângulos. Matemáticamente, fica assim:
Substituindo por :

Passo 6

Para simplificar, podemos expressar como:
Então, substituindo na soma:

Passo 7

Para encontrar a área exata, precisamos fazer o limite dessa soma quando tende ao infinito. Isso nos leva à integral definida da função de a :

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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, onde .
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