Um metereologista estabelece que a temperatura , num dia de inverno é dada por , onde o tempo é medido em horas e corresponde à meia-noite. Ache a temperatura média entre as 6 horas da manhã e o meio dia. Sugestão: utilize o teorema do valor médio para integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em graus Fahrenheit ao longo do tempo durante um dia de inverno. Queremos encontrar a temperatura média entre as 6 horas da manhã () e o meio-dia (). Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que nos ajuda a calcular a média de uma função em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a temperatura média. A temperatura média em um intervalo de tempo é o valor que, se fosse constante durante todo o período, teria a mesma “área” sob a curva da temperatura. Matematicamente, a temperatura média entre e é dada por:
Aqui, representa a integral da função de temperatura de até , ou seja, a área sob a curva de temperatura nesse intervalo.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar a temperatura média entre 6 horas da manhã e o meio-dia. Portanto, temos:
Então, a fórmula para a temperatura média será:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. A função de temperatura dada é:
Primeiro, vamos expandir os termos:
Então, multiplicando por :
Portanto, a função de temperatura simplificada fica:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral:
Passo 6
Vamos calcular a integral indefinida:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 6 a 12:
Calculando cada termo:
Para :
Então:
Para :
Então:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Então, a integral definida é 2268.
Passo 9
Agora, substituímos de volta na fórmula da temperatura média:
Resposta
A temperatura média entre as 6 horas da manhã e o meio-dia é de 18,9 °F.