Um metereologista estabelece que a temperatura T(em °F), num dia de inverno é dada por T(t) = (1/20) * t * (t - 12) * (t - 24), onde o tempo t é medido em horas e t = 0 corresponde à meia-noite. Ache a temperatura média entre as 6 horas da manhã e o meio dia. Sugestão: utilize o teorema do valor médio para integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função que representa a temperatura em graus Fahrenheit ao longo do tempo durante um dia de inverno. Queremos encontrar a temperatura média entre as 6 horas da manhã ( ) e o meio-dia ( ). Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que nos ajuda a calcular a média de uma função em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a temperatura média. A temperatura média em um intervalo de tempo é o valor que, se fosse constante durante todo o período, teria a mesma “área” sob a curva da temperatura. Matematicamente, a temperatura média entre e é dada por:
Aqui, representa a integral da função de temperatura de até , ou seja, a área sob a curva de temperatura nesse intervalo.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar a temperatura média entre 6 horas da manhã e o meio-dia. Portanto, temos:
Então, a fórmula para a temperatura média será:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. A função de temperatura dada é:
Primeiro, vamos expandir os termos:
Então, multiplicando por :
Portanto, a função de temperatura simplificada fica:

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral:

Passo 6

Vamos calcular a integral indefinida:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 6 a 12:
Calculando cada termo:
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 8

Subtraindo os valores:
Então, a integral definida é 2268.

Passo 9

Agora, substituímos de volta na fórmula da temperatura média:

Resposta

A temperatura média entre as 6 horas da manhã e o meio-dia é de 18,9 °F.

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