Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo ordinária que precisa ser resolvida usando o método de variação de parâmetros. A equação é:
Primeiro, vamos identificar que ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, a gente precisa primeiro encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular da não homogênea usando o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Essa é uma equação do tipo Cauchy-Euler, que é uma forma especial de equação diferencial onde os coeficientes dos termos dependem de potências de
. A gente resolve assumindo uma solução do tipo
.
Passo 3
Assumindo
, vamos derivar:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Como
, temos:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 5
Com esses valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea usando o método de variação de parâmetros. A ideia aqui é assumir que as constantes
e
na solução homogênea sejam funções de
, ou seja,
e
.
Então, a solução particular será:
Passo 7
Para encontrar
e
, precisamos derivar
:
Mas, para simplificar, impomos que:
isso ajuda a reduzir as equações.
Passo 8
Substituindo na equação original, após algumas simplificações, chegamos a um sistema de equações para
e
:
Passo 9
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Agora, precisamos integrar para achar
e
.
Passo 10
Integrando
e
:
Para
:
Fazendo uma substituição, deixamos
, então
, simplificando a integral.
Resultado:
Para
:
Podemos dividir
por
para simplificar:
Integrando:
Passo 11
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
onde
e
são constantes arbitrárias.