Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = x^3 / (x^2 + 2 x + 5), onde x em R, x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo ordinária que precisa ser resolvida usando o método de variação de parâmetros. A equação é:
Primeiro, vamos identificar que ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, a gente precisa primeiro encontrar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular da não homogênea usando o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Essa é uma equação do tipo Cauchy-Euler, que é uma forma especial de equação diferencial onde os coeficientes dos termos dependem de potências de . A gente resolve assumindo uma solução do tipo .

Passo 3

Assumindo , vamos derivar:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Como , temos:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 5

Com esses valores de , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando o método de variação de parâmetros. A ideia aqui é assumir que as constantes e na solução homogênea sejam funções de , ou seja, e .
Então, a solução particular será:

Passo 7

Para encontrar e , precisamos derivar :
Mas, para simplificar, impomos que:
isso ajuda a reduzir as equações.

Passo 8

Substituindo na equação original, após algumas simplificações, chegamos a um sistema de equações para e :

Passo 9

Resolvendo esse sistema, encontramos:
Agora, precisamos integrar para achar e .

Passo 10

Integrando e :
Para :
Fazendo uma substituição, deixamos , então , simplificando a integral.
Resultado:
Para :
Podemos dividir por para simplificar:
Integrando:

Passo 11

Agora, substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados