Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para determinar a área sob o gráfico de f(x) = x^3 + 1, para x pertence a [0, b], onde b > 0 é arbitrário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área sob o gráfico da função no intervalo de que vai de 0 até (onde ). Para isso, vamos usar a técnica de soma de áreas de retângulos circunscritos. Isso está relacionado ao conceito de integrais definidas na matemática, que basicamente soma infinitos retângulos para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em partes iguais. Isso facilita calcular a área de cada retângulo. Cada uma dessas partes será chamada de subintervalo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a largura de cada subintervalo. Como o intervalo total é de 0 a e dividimos em partes iguais, a largura de cada subintervalo, que chamaremos de , é:

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar a altura de cada retângulo. Como estamos usando retângulos circunscritos, vamos escolher a altura com base no ponto mais alto de cada subintervalo. Para isso, usamos o ponto direito de cada subintervalo. O ponto no final de cada subintervalo é dado por:
A altura de cada retângulo será então .

Passo 5

Agora, vamos escrever a soma das áreas de todos os retângulos. A área de cada retângulo é , então a soma total é:

Passo 6

Para encontrar a área total sob o gráfico quando o número de retângulos tende ao infinito, calculamos o limite da soma quando vai para infinito. Esse limite é a integral definida de de 0 a :
Á
Agora, vamos calcular essa integral:

Resposta

A área sob o gráfico de no intervalo é:

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