Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para determinar a área sob o gráfico de
, para
, onde
é arbitrário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área sob o gráfico da função
no intervalo de
que vai de 0 até
(onde
). Para isso, vamos usar a técnica de soma de áreas de retângulos circunscritos. Isso está relacionado ao conceito de integrais definidas na matemática, que basicamente soma infinitos retângulos para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
partes iguais. Isso facilita calcular a área de cada retângulo. Cada uma dessas partes será chamada de subintervalo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a largura de cada subintervalo. Como o intervalo total é de 0 a
e dividimos em
partes iguais, a largura de cada subintervalo, que chamaremos de
, é:
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar a altura de cada retângulo. Como estamos usando retângulos circunscritos, vamos escolher a altura com base no ponto mais alto de cada subintervalo. Para isso, usamos o ponto direito de cada subintervalo. O ponto
no final de cada subintervalo é dado por:
A altura de cada retângulo será então
.
Passo 5
Agora, vamos escrever a soma das áreas de todos os retângulos. A área de cada retângulo é
, então a soma total
é:
Passo 6
Para encontrar a área total sob o gráfico quando o número de retângulos
tende ao infinito, calculamos o limite da soma
quando
vai para infinito. Esse limite é a integral definida de
de 0 a
:
Agora, vamos calcular essa integral:
Resposta
A área sob o gráfico de
no intervalo
é: