Utilize somas inferiores para calcular a área da região situada entre a curva o eixo , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre a curva e o eixo , para entre 0 e 2. O conteúdo que vamos usar aqui são as somas de Riemann inferiores, que são uma maneira de aproximar a área sob uma curva. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo de em partes menores, calcular algumas áreas retangulares e somar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann inferior. Imagine que a gente divide o intervalo em subintervalos iguais. Em cada subintervalo, a soma inferior usa o menor valor da função nesse intervalo para calcular a área do retângulo correspondente. Isso dá uma aproximação da área total.

Passo 3

Vamos definir o tamanho de cada subintervalo. Se dividirmos em partes, cada subintervalo terá comprimento .

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos de divisão. Os pontos serão , , , e assim por diante, até .

Passo 5

Para cada subintervalo , o menor valor da função ocorre no início do intervalo, ou seja, em . Então, a altura do retângulo será .

Passo 6

A área de cada retângulo é então .

Passo 7

Para encontrar a soma inferior total, somamos as áreas de todos os retângulos:

Passo 8

Substituindo , a soma fica:

Passo 9

Sabemos que a soma dos quadrados dos primeiros termos é:

Passo 10

Substituindo na soma inferior:

Passo 11

Simplificando a expressão:

Passo 12

Para encontrar a área exata, fazemos tendendo ao infinito:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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(h)