Utilize somas inferiores para calcular a área da região situada entre a curva
o eixo
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre a curva
e o eixo
, para
entre 0 e 2. O conteúdo que vamos usar aqui são as somas de Riemann inferiores, que são uma maneira de aproximar a área sob uma curva. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo de
em partes menores, calcular algumas áreas retangulares e somar tudo no final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann inferior. Imagine que a gente divide o intervalo
em
subintervalos iguais. Em cada subintervalo, a soma inferior usa o menor valor da função nesse intervalo para calcular a área do retângulo correspondente. Isso dá uma aproximação da área total.
Passo 3
Vamos definir o tamanho de cada subintervalo. Se dividirmos
em
partes, cada subintervalo terá comprimento
.
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos de divisão. Os pontos serão
,
,
, e assim por diante, até
.
Passo 5
Para cada subintervalo
, o menor valor da função
ocorre no início do intervalo, ou seja, em
. Então, a altura do retângulo será
.
Passo 6
A área de cada retângulo é então
.
Passo 7
Para encontrar a soma inferior total, somamos as áreas de todos os
retângulos:
Passo 8
Substituindo
, a soma fica:
Passo 9
Sabemos que a soma dos quadrados dos primeiros
termos é:
Passo 10
Substituindo na soma inferior:
Passo 11
Simplificando a expressão:
Passo 12
Para encontrar a área exata, fazemos
tendendo ao infinito:
Resposta
A área da região é
unidades de área.