Calcule (usando substituição) integral-1^0 x(2 x+1)^50 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de no intervalo de a . Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Para isso, precisamos identificar uma parte da expressão que, ao ser derivada, aparece na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a expressão u = 2x + 1 , percebemos que é uma boa candidata para substituir por uma nova variável, digamos . Então, fazemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx em termos de dx = du2 . Derivando ambos os lados da equação em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Também precisamos expressar 2x = u - 1 Rightarrow x = u - 12 em termos de para substituir na integral. Da equação :

Passo 5

Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável u = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 . Quando u = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 :
Quando :
Então, a integral agora vai de a .

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:
integral-1^0 x(2x + 1)^50 dx = integral-1^1 ( u - 12 ) u^50 ( du2 )
Simplificando os coeficientes:
= 14 integral-1^1 (u - 1)u^50 du

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(u - 1)u^50 = u^51 - u^50
Então, a integral fica:
14 integral-1^1 (u^51 - u^50) du = 14 ( integral-1^1 u^51 du - integral-1^1 u^50 du )

Passo 8

Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Para integral-1^1 u^51 du = 0 :
Como a função integral-1^1 u^50 du = 2 integral0^1 u^50 du = 2 [ u^5151 ]0^1 = 2 ( 151 - 0 ) = 251 é ímpar (pois a potência é ímpar), a integral de a de uma função ímpar é zero. Então:
Para :
A função é par (a potência é par), então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
14 ( 0 - 251 ) = 14 ( -251 ) = -2204 = -1102

Resposta

O valor da integral é .

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