Calcule (usando substituição)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Para isso, precisamos identificar uma parte da expressão que, ao ser derivada, aparece na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a expressão
, percebemos que
é uma boa candidata para substituir por uma nova variável, digamos
. Então, fazemos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Também precisamos expressar
em termos de
para substituir na integral. Da equação
:
Passo 5
Agora, vamos mudar os limites de integração para a variável
. Quando
:
Quando
:
Então, a integral agora vai de
a
.
Passo 6
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
Para
:
Como a função
é ímpar (pois a potência é ímpar), a integral de
a
de uma função ímpar é zero. Então:
Para
:
A função
é par (a potência é par), então:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
O valor da integral é
.