Calcule, usando substituição trigonométrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como usar substituições trigonométricas quando temos expressões do tipo .

Passo 2

Primeiro, identificamos que dentro da raiz temos , que é igual a . Isso nos indica que vamos usar a substituição . Por quê? Porque é a função trigonométrica que facilita simplificar .

Passo 3

Fazendo a substituição , derivamos para encontrar :
Isso nos ajuda a mudar a variável da integral de para .

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, a integral fica:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
E que:

Passo 7

Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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