Verifique se as funções abaixo são homogênea.
Passo 1
Beleza, então a gente tem o seguinte exercício: verificar se a função
é homogênea. Pra isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como testar isso usando a definição matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função
é dita homogênea de grau
se, ao multiplicarmos todas as variáveis por um escalar
, a função inteira é multiplicada por
. Em outras palavras:
Vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 3
Vamos substituir
,
e
por
,
e
, respectivamente, na função:
Agora, vamos ver se isso é igual a
para algum valor de
.
Passo 4
A expressão que obtivemos:
Deveria ser igual a:
Para que a função seja homogênea, essas duas expressões precisam ser iguais para todo
. Mas olha só, no lado esquerdo temos
e no lado direito temos
. Essas duas partes não se igualam a menos que
, o que não satisfaz a condição para todos os
.
Passo 5
Como não conseguimos encontrar um valor de
que torne
válido para todo
, concluímos que a função não é homogênea.
Resposta
A função
não é homogênea.
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