Verifique se as funções abaixo são homogênea.

Passo 1

Beleza, então a gente tem o seguinte exercício: verificar se a função é homogênea. Pra isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser homogênea e como testar isso usando a definição matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, ao multiplicarmos todas as variáveis por um escalar , a função inteira é multiplicada por . Em outras palavras:
Vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Vamos substituir , e por , e , respectivamente, na função:
Agora, vamos ver se isso é igual a para algum valor de .

Passo 4

A expressão que obtivemos:
Deveria ser igual a:
Para que a função seja homogênea, essas duas expressões precisam ser iguais para todo . Mas olha só, no lado esquerdo temos e no lado direito temos . Essas duas partes não se igualam a menos que , o que não satisfaz a condição para todos os .

Passo 5

Como não conseguimos encontrar um valor de que torne válido para todo , concluímos que a função não é homogênea.

Resposta

A função não é homogênea.

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são homogênea.
Calcule, usando substituição trigonométrica.
Verifique se as funções abaixo são homogênea.
Verifique se as funções abaixo são homogênea.