Use a série de Maclaurin de ln(1+x) e para calcular ln(1.1) com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a série de Maclaurin da função para calcular ln(1.1) com uma precisão de cinco casas decimais. Isso envolve conceitos de séries infinitas e aproximações, então vamos precisar entender como a série de Maclaurin funciona e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos, usando potências de x. Para , a série é:
Essa série converge para , o que significa que podemos usá-la para calcular valores de dentro desse intervalo.

Passo 3

No nosso caso, queremos calcular , que é o mesmo que . Então, . Vamos substituir esse valor na série:

Passo 4

Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa série até alcançarmos a precisão desejada de cinco casas decimais. Vamos somar os termos um a um:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
  4. Quarto termo:
  5. Quinto termo:
Vamos somar esses valores:
Os termos seguintes serão cada vez menores e não afetarão a precisão até a quinta casa decimal.

Resposta

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