Verifique se as funções abaixo são homogênea. f(x, y) = x * raiz(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é homogênea. Isso faz parte do conteúdo de funções homogêneas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função homogênea e aplicar essa definição à função que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, ao multiplicarmos todas as variáveis por um número , a função inteira é multiplicada por . Matematicamente, isso significa:
Nosso objetivo é encontrar se existe um valor de que satisfaça essa equação para a função dada.

Passo 3

Agora, vamos calcular substituindo por e por na função original:
Vamos simplificar esse resultado.

Passo 4

Simplificando , temos:
Portanto,

Passo 5

Agora, comparamos com :
Para que a função seja homogênea, os coeficientes de devem ser iguais, ou seja:
Isso implica que .

Resposta

Sim, a função é homogênea de grau .

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