Calcule, usando substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é a integral
. Vamos resolver isso usando substituição trigonométrica, que é uma técnica de cálculo para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, a gente identifica uma parte da expressão que se encaixa numa identidade trigonométrica. Aqui, temos
no denominador. Isso lembra a identidade
. Então, vamos fazer a substituição
. Assim,
e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Os
se cancelam, ficando:
Passo 4
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica que transforma
em uma expressão mais fácil de integrar:
Então, a integral vira:
Passo 5
Integrando cada parte separadamente:
e
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, então
. Além disso,
. Substituindo isso na expressão encontrada:
Resposta
A integral avaliada é:
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Nos problemas que seguem, calcule
.
Encontre o domínio das funções abaixo.
Encontre o domínio das funções abaixo.
Nos problemas que seguem, calcule
.