Calcule, usando substituição trigonométrica.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral . Vamos resolver isso usando substituição trigonométrica, que é uma técnica de cálculo para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica uma parte da expressão que se encaixa numa identidade trigonométrica. Aqui, temos no denominador. Isso lembra a identidade . Então, vamos fazer a substituição . Assim, e a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original:
Os se cancelam, ficando:

Passo 4

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica que transforma em uma expressão mais fácil de integrar:
Então, a integral vira:

Passo 5

Integrando cada parte separadamente:
e
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , então . Além disso, . Substituindo isso na expressão encontrada:

Resposta

A integral avaliada é:

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Nos problemas que seguem, calcule .
Encontre o domínio das funções abaixo.
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Nos problemas que seguem, calcule .