Calcule, usando substituição trigonométrica.
integral x^2raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral integral x^2raiz1-x^2 dx. Vamos resolver isso usando substituição trigonométrica, que é uma técnica de cálculo para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica uma parte da expressão que se encaixa numa identidade trigonométrica. Aqui, temos raiz1 - x^2 no denominador. Isso lembra a identidade sin^2 theta + cos^2 theta = 1. Então, vamos fazer a substituição x = sin theta. Assim, raiz1 - x^2 = cos theta e a derivada de x em relação a theta é dx = cos theta dtheta.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral x^2raiz1-x^2 dx = integral sin^2 thetacos theta cdot cos theta dtheta
Os cos theta se cancelam, ficando:
integral sin^2 theta dtheta

Passo 4

Para integrar sin^2 theta, usamos a identidade trigonométrica que transforma sin^2 theta em uma expressão mais fácil de integrar:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Então, a integral vira:
integral sin^2 theta dtheta = integral 1 - cos 2theta2 dtheta = 12 integral 1 dtheta - 12 integral cos 2theta dtheta

Passo 5

Integrando cada parte separadamente:
12 integral 1 dtheta = theta2
e
12 integral cos 2theta dtheta = 12 cdot sin 2theta2 = sin 2theta4
Então, juntando tudo:
theta2 - sin 2theta4 + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que x = sin theta, então theta = arcsin x. Além disso, sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2x raiz1 - x^2. Substituindo isso na expressão encontrada:
arcsin x2 - 2x raiz1 - x^24 + C = arcsin x2 - x raiz1 - x^22 + C

Resposta

A integral avaliada é:
arcsin x2 - x raiz1 - x^22 + C

Exercícios relacionados