Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral-1^1 raizx+1 d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida integral-1^1 raizx+1 , dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é super útil porque relaciona a integral com as antiderivadas das funções. Vamos precisar encontrar uma antiderivada da função raizx+1 para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo integrada: f(x) = raizx+1. Para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos encontrar uma função F(x) que seja antiderivada de f(x), ou seja, que satisfaz F'(x) = f(x).

Passo 3

Sabemos que raizx+1 pode ser escrita como (x+1)^1/2. Para encontrar a antiderivada, usamos a regra da potência. A antiderivada de (x + 1)^n é (x + 1)^n+1n+1, desde que n neq -1.

Passo 4

Aplicando a regra da potência com n = 12, temos:
F(x) = (x + 1)^3232 = 23 (x + 1)^32

Passo 5

Agora que temos a antiderivada, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Nesse caso, a = -1 e b = 1.

Passo 6

Vamos calcular F(1) e F(-1):
F(1) = 23 (1 + 1)^32 = 23 cdot 2^32 = 23 cdot 2 raiz2 = 4 raiz23
F(-1) = 23 (-1 + 1)^32 = 23 cdot 0^32 = 0

Resposta

A integral vale 4 raiz23.

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