Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral0^2 xraiz1+2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 0 a 2 usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos ajuda a encontrar o valor da integral sabendo a antiderivada da função. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma substituição para simplificar a integral e depois aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dudx = 4x Rightarrow du = 4x , dx . Agora, vamos calcular a derivada de x , dx = du4 em relação a :
Queremos expressar em termos de :

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral0^2 xraiz1 + 2x^2 , dx = integralu(0)^u(2) 1raizu cdot du4
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para u(0) = 1 + 2(0)^2 = 1 u(2) = 1 + 2(2)^2 = 1 + 8 = 9 :
14 integral1^9 u^-1/2 , du
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C :
14 cdot 2u^1/2 |1^9 = 12 u^1/2 |1^9
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração:
12 ( raiz9 - raiz1 ) = 12 (3 - 1) = 12 cdot 2 = 1

Resposta

O valor da integral é .

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