Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral0^2 2(1+2 x)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 a 2 usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso envolve encontrar a antiderivada da função e depois avaliar nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral definida. Basicamente, ela nos dá a área sob a curva da função entre dois pontos, nesse caso, de até .

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo diz que se a gente encontra uma antiderivada integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) da função , então:
Então, vamos encontrar para .

Passo 4

Vamos usar a regra da substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 2u^3 cdot du2 = integral u^3 , du
Agora, basta integrar em relação a .

Passo 6

A antiderivada de u^44 + C é:
F(x) = (1 + 2x)^44 + C
Voltando à variável original:

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^2 2(1 + 2x)^3 , dx = F(2) - F(0)

Passo 8

Calculando F(2) = (1 + 2 cdot 2)^44 = (1 + 4)^44 = 5^44 = 6254 :

Passo 9

Calculando F(0) = (1 + 2 cdot 0)^44 = 1^44 = 14 :

Passo 10

Subtraindo os dois resultados:
F(2) - F(0) = 6254 - 14 = 6244 = 156

Resposta

O valor da integral é .

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