Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral1^9 1raizx(1+raizx)^2 d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de 1 a 9 da função em relação a . O conteúdo envolvido aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição e aplicar regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir:
u = raizx
Então, se x = u^2 , podemos reescrever dx = 2u , du como:
Agora, vamos calcular em termos de :

Passo 3

Substituindo integral1^9 1raizx(1+raizx)^2 , dx = integralu=1^u=3 1u(1 + u)^2 cdot 2u , du e = 2 integral1^3 1(1 + u)^2 , du na integral original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos integrar integral 1(1 + u)^2 , du = -11 + u + C em relação a . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 a 3:
2 [ -11 + u ]1^3 = 2 ( -14 + 12 )
Calculando dentro dos parênteses:
= 2 ( 12 - 14 ) = 2 ( 14 ) = 12

Resposta

O valor da integral é .

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