Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral-1^0(-4 x)(1-2 x^2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de até . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que basicamente nos ajuda a encontrar a área sob a curva usando antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função u = 1 - 2x^2 . Para facilitar, vamos usar uma técnica chamada substituição.
Vamos definir:
dudx = -4x Rightarrow du = -4x , dx
Agora, derivando em relação a :
Perceba que é exatamente o que multiplicamos por na integral. Isso simplifica bastante o cálculo!

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral-1^0 (-4x) (1 - 2x^2)^3 dx = integralu(-1)^u(0) u^3 du
Agora, vamos calcular os novos limites de integração:
Para u(-1) = 1 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1 :
u(0) = 1 - 2(0)^2 = 1
Para integral-1^1 u^3 du :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^3 du = u^44 + C em relação a :
Onde é a constante de integração, que não precisamos nos preocupar aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 5

Finalmente, aplicamos os limites de integração usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
u^44 |-1^1 = (1)^44 - (-1)^44 = 14 - 14 = 0

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados