Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de até . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que basicamente nos ajuda a encontrar a área sob a curva usando antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função . Para facilitar, vamos usar uma técnica chamada substituição.
Vamos definir:
Agora, derivando em relação a :
Perceba que é exatamente o que multiplicamos por na integral. Isso simplifica bastante o cálculo!

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
Agora, vamos calcular os novos limites de integração:
Para :
Para :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração, que não precisamos nos preocupar aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 5

Finalmente, aplicamos os limites de integração usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

Resposta

O valor da integral é .

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