Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta derivadas e integrais, dizendo que se a gente conseguir achar uma antiderivada para a função, a gente consegue calcular a integral facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar: . Nosso objetivo é encontrar uma antiderivada dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja .

Passo 3

Observando , percebemos que o numerador é a derivada do denominador multiplicado por uma constante. Isso sugere que podemos usar uma substituição simples para integrar.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição u-dica:
  • Seja
  • Então, a derivada de em relação a é , ou seja,

Passo 5

Rearranjando para substituir na integral:
  • Da equação , podemos isolar
  • Agora, substituímos na integral original:

Passo 6

A integral de é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 7

Voltando para a variável original , lembramos que , então a antiderivada fica:

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
onde é a antiderivada de .

Passo 9

Calculando e :

Passo 10

Subtraindo de :

Resposta

A integral é igual a .

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