Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral-1^1 x(x^2+12) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida integral-1^1 xx^2+12 , dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta derivadas e integrais, dizendo que se a gente conseguir achar uma antiderivada para a função, a gente consegue calcular a integral facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar: f(x) = xx^2+12. Nosso objetivo é encontrar uma antiderivada dessa função, ou seja, uma função F(x) cuja derivada seja f(x).

Passo 3

Observando f(x) = xx^2+12, percebemos que o numerador é a derivada do denominador multiplicado por uma constante. Isso sugere que podemos usar uma substituição simples para integrar.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição u-dica:
  • Seja u = x^2 + 12
  • Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = 2x, ou seja, du = 2x , dx

Passo 5

Rearranjando para substituir na integral:
  • Da equação du = 2x , dx, podemos isolar x , dx = du2
  • Agora, substituímos na integral original:
integral xx^2+12 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du

Passo 6

A integral de 1u , du é ln|u| + C, onde C é a constante de integração. Então:
12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C

Passo 7

Voltando para a variável original x, lembramos que u = x^2 + 12, então a antiderivada fica:
F(x) = 12 ln|x^2 + 12| + C

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é a antiderivada de f(x).

Passo 9

Calculando F(1) e F(-1):
F(1) = 12 ln(1^2 + 12) = 12 ln(13)
F(-1) = 12 ln((-1)^2 + 12) = 12 ln(13)

Passo 10

Subtraindo F(-1) de F(1):
F(1) - F(-1) = 12 ln(13) - 12 ln(13) = 0

Resposta

A integral integral-1^1 xx^2+12 , dx é igual a 0.

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