Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta derivadas e integrais, dizendo que se a gente conseguir achar uma antiderivada para a função, a gente consegue calcular a integral facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar:
. Nosso objetivo é encontrar uma antiderivada dessa função, ou seja, uma função
cuja derivada seja
.
Passo 3
Observando
, percebemos que o numerador é a derivada do denominador multiplicado por uma constante. Isso sugere que podemos usar uma substituição simples para integrar.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição u-dica:
- Seja
- Então, a derivada de
em relação a é , ou seja,
Passo 5
Rearranjando para substituir na integral:
- Da equação
, podemos isolar - Agora, substituímos na integral original:
Passo 6
A integral de
é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 7
Voltando para a variável original
, lembramos que
, então a antiderivada fica:
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
onde
é a antiderivada de
.
Passo 9
Calculando
e
:
Passo 10
Subtraindo
de
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo