Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente tem aqui é uma integral definida:
. Esse tipo de problema envolve o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta as integrais com as derivadas. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre integrais e funções trigonométricas, já que temos um radical envolvendo
.
Passo 2
Vamos dar uma olhada na função que estamos integrando:
. Isso se parece com a forma da derivada da função seno inverso,
, que é
. Para encaixar nossa integral nessa forma, vamos fazer uma substituição.
Passo 3
Primeiro, note que
pode ser reescrito como
. Isso nos sugere uma substituição trigonométrica. Vamos definir
. Dessa forma, quando substituímos
na integral, conseguimos simplificar o radical.
Passo 4
Com
, a derivada de
em relação a
é
. Agora, substituímos
e
na integral original:
Isso simplifica bastante a nossa integral!
Passo 5
Agora, a integral se tornou
, onde
é a constante de integração. Mas precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos resolver para
:
Então, nossa integral indefinida fica:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite calcular a integral definida avaliando a antiderivada nos limites de integração. Temos:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
E,
Resposta
Portanto, a integral
é igual a
.
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