Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral0^2 d xraiz16-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente tem aqui é uma integral definida: . Esse tipo de problema envolve o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta as integrais com as derivadas. Para resolver, a gente vai precisar entender um pouco sobre integrais e funções trigonométricas, já que temos um radical envolvendo .

Passo 2

Vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . Isso se parece com a forma da derivada da função seno inverso, , que é . Para encaixar nossa integral nessa forma, vamos fazer uma substituição.

Passo 3

Primeiro, note que pode ser reescrito como . Isso nos sugere uma substituição trigonométrica. Vamos definir . Dessa forma, quando substituímos na integral, conseguimos simplificar o radical.

Passo 4

Com integral dxraiz16 - x^2 = integral 4 cos theta , dthetaraiz16 - 16 sin^2 theta = integral 4 cos theta , dtheta4 cos theta = integral dtheta , a derivada de em relação a é . Agora, substituímos e na integral original:
Isso simplifica bastante a nossa integral!

Passo 5

Agora, a integral se tornou theta = arcsin(x4) , onde integral dxraiz16 - x^2 = arcsin(x4) + C é a constante de integração. Mas precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos resolver para :
Então, nossa integral indefinida fica:

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite calcular a integral definida avaliando a antiderivada nos limites de integração. Temos:
integral0^2 dxraiz16 - x^2 = [ arcsin(x4) ]0^2 = arcsin(24) - arcsin(04)

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
arcsin(24) = arcsin(12) = pi6
E,
arcsin(04) = arcsin(0) = 0

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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