Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral0^2|2 x-1| d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de 0 a 2 da função em relação a . Isso envolve o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Pra resolver, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a expressão dentro do valor absoluto, , muda de sinal. Igualando a , encontramos . Isso significa que para , é negativo, e para , é positivo.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes, separando no ponto integral0^2 |2x - 1| dx = integral0^12 -(2x - 1) dx + integral12^2 (2x - 1) dx :
Aqui, o sinal negativo aparece porque é negativo na primeira parte.

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de integral0^12 -(2x - 1) dx = integral0^12 (-2x + 1) dx = [ -x^2 + x ]0^12 = (-(12)^2 + 12) - (0) = -14 + 12 = 14 de 0 a :

Passo 5

Agora, a integral de integral12^2 (2x - 1) dx = [ x^2 - x ]12^2 = (2^2 - 2) - ((12)^2 - 12) = (4 - 2) - (14 - 12) = 2 - (-14) = 2 + 14 = 94 de a 2:

Resposta

Somando as duas partes, o valor da integral é:
14 + 94 = 104 = 52

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