Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral1^e (1+ln (x))x d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral definida de de 1 até usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é super útil porque ele conecta derivadas e integrais, permitindo que a gente encontre o valor da integral encontrando uma função primitiva e avaliando nos limites dado.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão dentro da integral. Podemos dividir a fração:
1 + ln(x)x = 1x + ln(x)x
Isso facilita a hora de integrar, porque agora temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. A integral de integral u , du = u^22 + C = (ln(x))^22 + C em relação a é . Como é positivo no intervalo considerado, podemos escrever simplesmente .
  2. Para integrar , vamos usar uma substituição simples. Seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
integral 1 + ln(x)x dx = ln(x) + (ln(x))^22 + C

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 até [ ln(x) + (ln(x))^22 ]1^e :
ln(e) + (ln(e))^22 = 1 + 1^22 = 1 + 12 = 32
Primeiro, substituímos ln(1) + (ln(1))^22 = 0 + 0^22 = 0 :
Depois, substituímos :

Resposta

32

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