Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral definida de
de 1 até
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é super útil porque ele conecta derivadas e integrais, permitindo que a gente encontre o valor da integral encontrando uma função primitiva e avaliando nos limites dado.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão dentro da integral. Podemos dividir a fração:
Isso facilita a hora de integrar, porque agora temos duas integrais mais simples para resolver.
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
-
A integral de
em relação a é . Como é positivo no intervalo considerado, podemos escrever simplesmente . -
Para integrar
, vamos usar uma substituição simples. Seja , então . Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 até
:
Primeiro, substituímos
:
Depois, substituímos
:
Resposta
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Resolva as seguintes integrais: