Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida de 0 a 1 da função
. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a derivada com a integral, permitindo que a gente calcule integrais definidas de forma mais fácil. Vamos precisar saber como integrar funções racionais, especialmente aquelas que podem ser transformadas em uma forma conhecida, como uma fração que se assemelha a uma arctan.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. A expressão no denominador é um polinômio quadrático:
. Podemos completar o quadrado para reescrever esse polinômio de uma forma que nos ajude a integrar.
Passo 3
Para completar o quadrado de
, pegamos o coeficiente de
, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
. Então, reescrevemos o polinômio:
Passo 4
Agora que temos a expressão
, podemos reescrever a integral original:
Essa forma nos lembra a integral da função
, cuja antiderivada é
.
Passo 5
Aplicando essa fórmula, identificamos que
e
. Portanto, a antiderivada da função dentro da integral é:
Passo 6
Agora, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites de 0 a 1:
Simplificando os argumentos da arctan:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
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Resolva as seguintes integrais:
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