Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral0^1(x^3+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é super importante porque ele conecta cálculo diferencial e integral, basicamente dizendo que se você tem uma função contínua, pode achar a área sob a curva (a integral) usando uma antiderivada dessa função. Pra resolver isso, a gente vai precisar achar a antiderivada de e depois avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de F(x) = x^44 + 5x . A antiderivada é aquela função cuja derivada é a função original. Então, a gente integra cada termo separadamente.
Para , a antiderivada é , porque quando derivamos , a gente volta para .
Para 5, que é uma constante, a antiderivada é , já que a derivada de é 5.
Então, a antiderivada de é:

Passo 3

Agora que temos a antiderivada F(1) = 1^44 + 5(1) = 14 + 5 = 14 + 204 = 214 , aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a integral definida de F(0) = 0^44 + 5(0) = 0 + 0 = 0 a de é igual a , onde é a antiderivada de .
No nosso caso, os limites são de 0 a 1. Então, vamos calcular e :
Primeiro, :
Depois, :

Resposta

Subtraindo integral0^1(x^3+5) , dx = F(1) - F(0) = 214 - 0 = 214 de :
Então, o valor da integral é .

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