Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos conecta a antiderivada de uma função com o cálculo de integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que simplifica a integral tornando-a mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Observando a integral
, percebemos que
é uma expressão que, quando derivada, está relacionada ao termo
que está multiplicando.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Isso significa que:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Para isso, isolamos
na equação de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular a integral de
:
Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após a substituição.
Passo 7
Antes de aplicar os limites, precisamos alterar os limites de integração para a variável
. Quando
:
Quando
:
Então, os novos limites de integração são de
a
.
Passo 8
Agora, substituímos tudo na integral:
Passo 9
Vamos calcular a antiderivada nos limites:
Resposta
O valor da integral é
.
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Resolva as seguintes integrais:
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