Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral0^1 x(2 x^2-1)^9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos conecta a antiderivada de uma função com o cálculo de integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que simplifica a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Observando a integral u = 2x^2 - 1 , percebemos que é uma expressão que, quando derivada, está relacionada ao termo que está multiplicando.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x em relação a du = 4x , dx , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar du = 4x , dx em termos de Rightarrow x , dx = du4 . Para isso, isolamos na equação de :

Passo 5

Agora, substituímos integral0^1 x(2 x^2-1)^9 dx = integral u^9 cdot du4 e 14 integral u^9 du na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular a integral de integral u^9 du = u^1010 + C :
Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após a substituição.

Passo 7

Antes de aplicar os limites, precisamos alterar os limites de integração para a variável u = 2(0)^2 - 1 = -1 . Quando u = 2(1)^2 - 1 = 1 :
Quando :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 8

Agora, substituímos tudo na integral:
14 integral-1^1 u^9 du = 14 [ u^1010 ]-1^1

Passo 9

Vamos calcular a antiderivada nos limites:
14 ( 1^1010 - (-1)^1010 )
14 ( 110 - 110 )
14 (0) = 0

Resposta

O valor da integral é .

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