Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos conecta a antiderivada de uma função com o cálculo de integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que simplifica a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável. Observando a integral , percebemos que é uma expressão que, quando derivada, está relacionada ao termo que está multiplicando.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Para isso, isolamos na equação de :

Passo 5

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular a integral de :
Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após a substituição.

Passo 7

Antes de aplicar os limites, precisamos alterar os limites de integração para a variável . Quando :
Quando :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 8

Agora, substituímos tudo na integral:

Passo 9

Vamos calcular a antiderivada nos limites:

Resposta

O valor da integral é .

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Resolva as seguintes integrais:
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