Sendo definida por , determine .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para determinarmos a segunda derivada de uma função que é definida por uma integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e derivação, especificamente com a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral. Vamos precisar entender como diferenciar integrais que têm limites que dependem da variável de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , ou seja, . Para isso, usamos a Regra de Leibniz, que nos diz que se temos uma integral com limite superior sendo uma função de , a derivada será simplesmente a função integrando avaliada nesse limite multiplicada pela derivada desse limite.
No nosso caso:
A derivada de em relação a será:
Isso porque o limite superior da integral externa é , então substituímos por na integral interna.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos novamente aplicar a Regra de Leibniz à expressão que encontramos para :
Aqui, o limite inferior da integral depende de ) e o limite superior é constante (2). A Regra de Leibniz nos diz que:
Aplicando isso, temos:
Calculando a derivada de :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A segunda derivada de é:

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Determinar a função , sabendo que:
e
Encontrar uma função tal que e .
Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
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