Sendo
definida por
, determine
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para determinarmos a segunda derivada de uma função
que é definida por uma integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e derivação, especificamente com a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral. Vamos precisar entender como diferenciar integrais que têm limites que dependem da variável de diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, ou seja,
. Para isso, usamos a Regra de Leibniz, que nos diz que se temos uma integral com limite superior sendo uma função de
, a derivada será simplesmente a função integrando avaliada nesse limite multiplicada pela derivada desse limite.
No nosso caso:
A derivada de
em relação a
será:
Isso porque o limite superior da integral externa é
, então substituímos
por
na integral interna.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos novamente aplicar a Regra de Leibniz à expressão que encontramos para
:
Aqui, o limite inferior da integral depende de
(é
) e o limite superior é constante (2). A Regra de Leibniz nos diz que:
Aplicando isso, temos:
Calculando a derivada de
:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A segunda derivada de
é:
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Determinar a função
, sabendo que:
e
Encontrar uma função
tal que
e
.
Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
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