Sendo G definida por G(x)=integral3^x[integralt^4^2 sen^3(u)u^2 d u] d t, determine G^prime prime(x).

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para determinarmos a segunda derivada de uma função G(x) = integral3^x[integralt^4^2 sin^3(u)u^2 , du] dt que é definida por uma integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e derivação, especificamente com a Regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral. Vamos precisar entender como diferenciar integrais que têm limites que dependem da variável de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de G(x) = integral3^x [ integralt^4^2 sin^3(u)u^2 , du ] dt , ou seja, G'(x) = integralx^4^2 sin^3(u)u^2 , du . Para isso, usamos a Regra de Leibniz, que nos diz que se temos uma integral com limite superior sendo uma função de , a derivada será simplesmente a função integrando avaliada nesse limite multiplicada pela derivada desse limite.
No nosso caso:
A derivada de em relação a será:
Isso porque o limite superior da integral externa é , então substituímos por na integral interna.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada G'(x) = integralx^4^2 sin^3(u)u^2 , du . Para isso, vamos novamente aplicar a Regra de Leibniz à expressão que encontramos para ddx ( integrala(x)^b f(u) , du ) = -f(a(x)) cdot a'(x) :
G''(x) = -sin^3(x^4)(x^4)^2 cdot ddx(x^4)
Aqui, o limite inferior da integral depende de ddx(x^4) = 4x^3 G''(x) = -sin^3(x^4)x^8 cdot 4x^3 = -4 sin^3(x^4)x^5 ) e o limite superior é constante (2). A Regra de Leibniz nos diz que:
Aplicando isso, temos:
Calculando a derivada de :
Então, substituindo de volta:

Resposta

A segunda derivada de G''(x) = -4 sin^3(x^4)x^5 é:

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