Resolva as seguintes integrais: integral x2 cos (x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função dentro do cosseno é . Isso sugere que podemos usar uma substituição onde . Fazendo isso, a gente precisa calcular a derivada de em relação a para ajustar o diferencial .

Passo 3

Calculando a derivada:
du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx
Então, temos:
2x , dx = du Rightarrow x , dx = du2
Observe que na nossa integral original temos x2 , dx = 12 cdot du2 = du4 , então substituindo:

Passo 4

Substituindo integral x2 cos(x^2) , dx = integral cos(u) cdot du4 = 14 integral cos(u) , du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples: , que é fácil de resolver.

Passo 5

Integrando integral cos(u) , du = sin(u) + C :
14 integral cos(u) , du = 14 sin(u) + C
Então, voltando à nossa expressão:

Passo 6

Lembrando que 14 sin(u) + C = 14 sin(x^2) + C , substituímos de volta:

Resposta

integral x2 cos(x^2) , dx = 14 sin(x^2) + C

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