7 integralc barF cdot d barR, onde F=x y i+x^2 barj e C é o círculo de raio 2 e centro na origem, tomado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que faz parte do estudo de cálculo vetorial. A gente vai precisar trabalhar com campos vetoriais e aplicar o Teorema de Green para facilitar a resolução. O enunciado pede para calcular , onde e é um círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. É uma forma de somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma curva específica. No nosso caso, a curva é um círculo de raio 2 ao redor da origem.

Passo 3

Para simplificar a integral, podemos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 4

No nosso caso, o campo partial Qpartial x = partialpartial x (x^2) = 2x tem componentes partial Ppartial y = partialpartial y (x y) = x e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC F cdot dR = integral duplaD ( 2x - x ) dA = integral duplaD x , dA

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla integral duplaD x , dA = integral0^2pi integral0^2 (r cos theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi cos theta integral0^2 r^2 , dr , dtheta sobre a região , que é o interior do círculo de raio 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83 primeiro:
83 integral0^2pi cos theta , dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 8

Agora, calculamos a integral em integral0^2pi cos theta , dtheta = [ sin theta ]0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0 :

Passo 9

Portanto, a integral dupla resulta em zero:
integral duplaD x , dA = 83 times 0 = 0

Passo 10

Lembrando que a integral original tinha um fator 7, então:
7 ointC F cdot dR = 7 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral é .

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