onde
e
é o círculo de raio 2 e centro na origem, tomado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que faz parte do estudo de cálculo vetorial. A gente vai precisar trabalhar com campos vetoriais e aplicar o Teorema de Green para facilitar a resolução. O enunciado pede para calcular
, onde
e
é um círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. É uma forma de somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma curva específica. No nosso caso, a curva
é um círculo de raio 2 ao redor da origem.
Passo 3
Para simplificar a integral, podemos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Passo 4
No nosso caso, o campo
tem componentes
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral dupla
sobre a região
, que é o interior do círculo de raio 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Agora, calculamos a integral em
:
Passo 9
Portanto, a integral dupla resulta em zero:
Passo 10
Lembrando que a integral original tinha um fator 7, então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
d) .
d)
Calcule, usando o teorema fundamental do cálculo (parte 1), a derivada das seguintes funções:
d. .
d.
Nos problemas 11 a 18, use o teorema de Green para calcular cada integral de linha. Em cada caso, suponha que a curva fechada
é tomada no sentido anti-horário.