onde e é o círculo de raio 2 e centro na origem, tomado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que faz parte do estudo de cálculo vetorial. A gente vai precisar trabalhar com campos vetoriais e aplicar o Teorema de Green para facilitar a resolução. O enunciado pede para calcular , onde e é um círculo de raio 2 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. É uma forma de somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de uma curva específica. No nosso caso, a curva é um círculo de raio 2 ao redor da origem.

Passo 3

Para simplificar a integral, podemos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:

Passo 4

No nosso caso, o campo tem componentes e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o interior do círculo de raio 2. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral se torna:

Passo 8

Agora, calculamos a integral em :

Passo 9

Portanto, a integral dupla resulta em zero:

Passo 10

Lembrando que a integral original tinha um fator 7, então:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
d) .
Calcule, usando o teorema fundamental do cálculo (parte 1), a derivada das seguintes funções:
d. .
Nos problemas 11 a 18, use o teorema de Green para calcular cada integral de linha. Em cada caso, suponha que a curva fechada é tomada no sentido anti-horário.
onde e é o triângulo de vértices tomado no sentido anti-horário.